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Formule d'Euler Linéarisation

Posté par
fan2 21-09-09 à 00:20

Bonsoir a tous!

J'ai eu un exercice a faire mais je n'est aucune idée pour le faire
(je ne trouve rien dans mes livres & ancien cours)
Donc si vous pouviez m'aidez a me montrer comment le faire..

A l'aide des formules d'Euler, retrouver les formules trigonométriques:

Cos2a = 1/2(1+Cos2a) ;

Sin2a = 1/2(1-Cos2a) ;

Je connait la formule d'Euler & Trigonométrique, mais je ne voit pas comment passer a la formule Trigonométrique.

Merci D'avance!

Posté par
remullen2000re : Formule d'Euler Linéarisation 21-09-09 à 00:50

Bonjour

Cos(x)=( e(ix)+e(-ix) )/2

et e(ix)=cos(x)+i sin(x)

Posté par
bill159re : Formule d'Euler Linéarisation 21-09-09 à 01:20

Bonsoir,

Démonstration de \Large {\cos ^2}\left( x \right) = \frac{1}{2}\left( {1 + \cos \left( {2a} \right)} \right)

\Large \cos \left( x \right) = \frac{{{e^{ix}} + {e^{ - ix}}}}{2}

donc tu aura:

\Large \begin{array}{l} \\ {\cos ^2}\left( x \right) = {\left( {\frac{{{e^{ix}} + {e^{ - ix}}}}{2}} \right)^2} \\ \\ {\cos ^2}\left( x \right) = \frac{{{e^{i2x}} + {e^{ - i2x}} + 2}}{4} \\ \\ {\cos ^2}\left( x \right) = \frac{{{e^{i2x}} + {e^{ - i2x}}}}{4} + \frac{1}{2} \\ \\ \end{array}

d'où la relation.

Posté par
bill159re : Formule d'Euler Linéarisation 21-09-09 à 01:23

à partir de la dernière ligne utilise la formule rappelé par remullen2000

Rappel: \Large {e^{i2x}} = \cos \left( {2x} \right) + i\sin \left( {2x} \right)

Posté par
fan2re : Formule d'Euler Linéarisation 21-09-09 à 01:26

Ok mais je n'arrive pas a faire le lien
Pour le cos2a faut-il développer 1/2(1+Cos2a) et retrouver et arriver jusqu'a e(ix)=cos(x)+i sin(x)

Enfaite je n'est pas saisi ce qu'il faut que je face, pouvez vous m'expliquer chaque étape

"c'est un exercice pour demin!"

Merci pour votre compréhension

Posté par
fan2re : Formule d'Euler Linéarisation 21-09-09 à 01:33

la formule trigonométrique utilise le Module je croit, donc j'aurai aimé savoir comment je le trouve, ou??

Comme j'ai dit tout à l'heur, dit moi ce que je droit fair étape par étape
merci

Posté par
bill159re : Formule d'Euler Linéarisation 21-09-09 à 01:40

revenons à cette relation: \Large {\cos ^2}\left( x \right) = \frac{{{e^{i2x}} + {e^{ - i2x}}}}{4} + \frac{1}{2}

tu a sans doute compris comment on en arrivait à cette égalité.

Il suffit et simplement de remplacer \Large {e^{i2x}}

par son expression et pour rappel, \Large {e^{i2x}} = \cos \left( {2x} \right) + i\sin \left( {2x} \right)

pour aboutir à \Large {\cos ^2}\left( x \right) = \frac{1}{2}\left( {1 + \cos \left( {2x} \right)} \right)

Posté par
fan2re : Formule d'Euler Linéarisation 21-09-09 à 01:59

Donc j'ai pu voir pour

Citation :
\Large {\cos ^2}\left( x \right) = \frac{{{e^{i2x}} + {e^{ - i2x}}}}{4} + \frac{1}{2}
Tu a utiliser les identités remarquable (a+b)²
Donc j'ai compris cette partie la

Mais après tu ma dit
Citation :
\Large {e^{i2x}} = \cos \left( {2x} \right) + i\sin \left( {2x} \right)

je l'aval , mais je n'est pas compris a partir de ça comment passer a la forme trigonométrique

Posté par
bill159re : Formule d'Euler Linéarisation 21-09-09 à 02:08

tout simplement car la formuler d'Euler dit que \Large \cos \left( x \right) = \frac{{{e^{ix}} + {e^{ - ix}}}}{2}

et que si tu remplace le x dans le cosinus, il faut le remplacer partout:

\Large \cos \left( {2x} \right) = \frac{{{e^{i2x}} + {e^{ - i2x}}}}{2}

ou encore \Large \cos \left( {3x} \right) = \frac{{{e^{i3x}} + {e^{ - i3x}}}}{2} etc...

Posté par
fan2re : Formule d'Euler Linéarisation 21-09-09 à 02:10

Sans vouloir te déranger
Je voudrais aussi avoir un coup de Pouce sur cette exercice aussi Equation, Sytem d'équations  dans C "Ces sur Les Sytemes d'équations dans C"

Merci Beaucoup!

Posté par
bill159re : Formule d'Euler Linéarisation 21-09-09 à 02:10

Introduit l'expression de ta deuxième citation dans l'expression de ta première citation et en "tâtonnant", le tour est joué!

Posté par
bill159re : Formule d'Euler Linéarisation 21-09-09 à 02:11

pas de problème j'y vais jeter un coup d'œil.

Posté par
fan2re : Formule d'Euler Linéarisation 21-09-09 à 02:36

frenchement j'ai éssayer de tâter de partout mais la j'ai mal a la tête

pour le "Cos2a = 1/2(1+Cos2a)" ca donnerais pas a la fin 1/2 + 2cos2x
je sais plus
mais merci pour le coup de pouce quand même!
à bientôt!

Posté par
bill159re : Formule d'Euler Linéarisation 21-09-09 à 02:42

euh non je vais tout détailler, je suis en plein forme!

On  essaie de démontrer {\cos ^2}\left( x \right) = \frac{1}{2}\left( {1 + \cos \left( {2x} \right)} \right)

\Large \begin{array}{l} \\ {\cos ^2}\left( x \right) = {\left( {\frac{{{e^{ix}} + {e^{ - ix}}}}{2}} \right)^2} \\ \\ {\cos ^2}\left( x \right) = \frac{{{e^{i2x}} + {e^{ - i2x}} + 2}}{4} \\ \\ {\cos ^2}\left( x \right) = \frac{{{e^{i2x}} + {e^{ - i2x}}}}{4} + \frac{1}{2} \\ \\ \end{array}

or il se trouve que \Large \begin{array}{l} \\ {e^{i2x}} = \cos \left( {2x} \right) + i\sin \left( {2x} \right) \\ \\ {e^{ - i2x}} = \cos \left( { - 2x} \right) + i\sin \left( { - 2x} \right) \\ \\ \end{array}

\Large {\cos ^2}\left( x \right) = \frac{{\cos \left( {2x} \right) + i\sin \left( {2x} \right) + \cos \left( { - 2x} \right) + i\sin \left( { - 2x} \right)}}{4} + \frac{1}{2}

et tu continue...

sauf erreur bien entendu

Bonne nuit

Posté par
bill159re : Formule d'Euler Linéarisation 21-09-09 à 13:13

tu aura donc depuis la dernière ligne:

\Large \begin{array}{l} \\ {\cos ^2}\left( x \right) = \frac{{\cos \left( {2x} \right) + i\sin \left( {2x} \right) + \cos \left( {2x} \right) - i\sin \left( {2x} \right)}}{4} + \frac{1}{2} \\ \\ {\cos ^2}\left( x \right) = \frac{{2\cos \left( {2x} \right)}}{4} + \frac{1}{2} \\ \\ {\cos ^2}\left( x \right) = \frac{{\cos \left( {2x} \right)}}{2} + \frac{1}{2} \\ \\ {\cos ^2}\left( x \right) = \frac{1}{2}\left[ {\cos \left( {2x} \right) + 1} \right] \\ \\ \end{array}


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