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formule de duplication...

Posté par
swimgirl
19-02-08 à 22:42

Bonsoir,

Démontrer les égalités suivantes :

1) tan2x = 2tan x / (1-tan²x)
2) cos^4x - sin^4x = cos2x

La 1) je ne vois pas du tout comment faire puisque les formules de trigonométrie sont le cosinus et sinus...

la 2) j'ai fait quelque chose mais je ne sais pas si c'est la bonne méthode :

cos^4x - sin^4x = (cos²x + sin²x)*(cos²x - sin²x)
                = 1*(cos²x-sin²x)
                = cos²x-sin²x
                = (1+cos2a/2)-(1-cos2a/2)
                = 1+cos2a - 1+cos2a/2
                = cos4x/2
                =cos2x


Merci de votre aide

Posté par
swimgirl
re : formule de duplication... 19-02-08 à 22:43

Oh, J'ai fait une faute de frappre, je rectifie :

cos^4x - sin^4x = (cos²x + sin²x)*(cos²x - sin²x)
                = 1*(cos²x-sin²x)
                = cos²x-sin²x
                = (1+cos2a/2)-(1-cos2a/2)
                = 1+cos2a/2 - 1+cos2a/2
                = cos4x/2
                =cos2x

Posté par
disdrometre
re : formule de duplication... 19-02-08 à 22:45

salut

tan2x= sin(2x)/cos(2x)

sin(2x) = 2 sin(x)cos(x)  cos(2x)= cos²(x) - sin²(x)

...
D.

Posté par
disdrometre
re : formule de duplication... 19-02-08 à 22:46

le 2) est correct.

D.

Posté par
swimgirl
re : formule de duplication... 19-02-08 à 22:48

OK pour le 2)
Bon alors je vois pour le 1) et je marquerais ce que je trouve

Posté par
swimgirl
re : formule de duplication... 19-02-08 à 22:52

J'ai fait comme tu m'as dit, ça donne :

tan2x = 2sinxcosx / 1-2sin²x

Mais après je ne vois pas comment résoudre à partir de ça...

Posté par
jacqlouis
re : formule de duplication... 19-02-08 à 22:54

    Bonsoir . Il vaudrait mieux écrire :

     (1/2)*(1 + cos2x) - (1/2)*(1 - cos2x)
  =   1/2 - 1/2 + (1/2)*cos2x + (1/2)*cos2x    =  cos 2x

Ce n'est pas   cos4x ...

Posté par
swimgirl
re : formule de duplication... 19-02-08 à 22:55

Ah oui en effet c'est mieux
Merci Jacqlouis

Posté par
disdrometre
re : formule de duplication... 19-02-08 à 22:56

tan2x= sin(2x)/cos(2x)  = [2 sin(x)cos(x)]/[cos²(x) - sin²(x)]

on divise maintenant le numérateur et le dénominateur par cos²(x)

donc tan2x=[2 sin(x)/cos(x)]/[1 - sin²(x)/cos²(x)] = 2 tan(x)/[1 - tan²(x) ]

D.

Posté par
swimgirl
re : formule de duplication... 19-02-08 à 22:59

Je ne comprends pas pourquoi on divise le numérateur et le dénominateur par cos²x ... ?

Posté par
swimgirl
re : formule de duplication... 19-02-08 à 23:00

Pourquoi justement le cosinus ?

Posté par
disdrometre
re : formule de duplication... 19-02-08 à 23:02



pour faire apparaître tan(x) ...

D.

Posté par
jacqlouis
re : formule de duplication... 19-02-08 à 23:03

    Il est plus simple de remplacer, dans le second membre, les  tanx  par  sinx/cosx ...
    Le résultat est (presqu)'immédiat...

Posté par
swimgirl
re : formule de duplication... 19-02-08 à 23:08

Mais...

tan2x=[2 sin(x)/cos(x)]/[1 - sin²(x)/cos²(x)]

Là, il n'y a que le dénominateur qui est divisé par cos²x ...

Posté par
swimgirl
re : formule de duplication... 19-02-08 à 23:08

Désolée d'être un peu longue à comprendre, il commence à se faire tard

Posté par
disdrometre
re : formule de duplication... 19-02-08 à 23:10

tan2x= sin(2x)/cos(2x)  = [2 sin(x)cos(x)]/[cos²(x) - sin²(x)]

= [2 sin(x)cos(x)/cos²(x)]/[cos²(x)/cos²(x) - sin²(x)/cos²(x)]= [2 sin(x)/cos(x)]/[1 - sin²(x)/cos²(x)]

D.

Posté par
swimgirl
re : formule de duplication... 19-02-08 à 23:11

Compris (enfin...)

Merci pour votre aide

Bonne soirée

Posté par
disdrometre
re : formule de duplication... 19-02-08 à 23:13

oui il se fait tard, et ce n'est pas si évident aussi.

par contre cette démo est à connaître .

et aussi :

cos(x) = (1-t²)/(1+t²)  et sin(x) = 2t/(1+t²)  avec t=tan(x/2)

c'est très utile dans les calculs trigo et autres...

D.

Posté par
hamza2223
re : formule de duplication... 19-02-08 à 23:29

salut pour 1) on part de
2tan x / (1-tan²x)= [2(sinx/cosx)] / [(cos²x/cos²x)-(sin²x/cos²x)]
                  = [2(sinx/cosx)] * [cos²x/(cos²x-sin²x)]
                  = [2sinx.cosx]/[cos²x-sin²x]
                  = sin2x/cos2x
                  = tan2x

Posté par
agnesi
re : formule de duplication... 20-02-08 à 06:17

Bonjour;

on sait que 4$\tan(A+B)=\frac{tanA+tanB}{1-tanAtanB}

en posant 4$A=B=x et 4$A+B=2x

on a en remplaçant dans 4$\tan(A+B)=\frac{tanA+tanB}{1-tanAtanB}

4$=tan2x=\frac{tanx+tanx}{1-tanxtanx}]

4$=\frac{2tanx}{1-tan^2x}

Posté par
agnesi
re : formule de duplication... 20-02-08 à 07:20


Plus naturellement

4$tan2x=\frac{2tanx}{1-tan^2x}

4$\frac{2tanx}{1-tan^2x}=4$\frac{sin2x}{cos2x}

4$=\frac{2\frac{sinx}{cosx}+\frac{sinx}{cosx}}{1-\frac{sinx}{cosx}\frac{sinx}{cosx}

4$\frac{\frac{sinx}{cosx}}{\frac{cos^2x-sin^2x}{cos^2x}}

=4$\frac{2sinxcos^2x}{cosx(cos^2x-sin^2x)}

4$=\frac{2sinxcosxcosx}{cosx(cos^2x-sin^2x}

4$2sinxcosx=sin2x

4$cos^2x-sin^2x=cos2x


4$\frac{2sinxcosxcosx}{cosx(cos^2x-sin^2x}=\frac{sin2xcosx}{coxcos2x}=tan2x

Posté par
agnesi
re : formule de duplication... 20-02-08 à 07:24

le 2 en facteur sur la 3 ième ligne doit se retrouver en fait sur la 4.

désolé pour la mise en forme.



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