Bonjour xtasx,

L'essai sur quelques exemples (3,4) semble montrer que:



A vérifier.

La formule de Grassmann sur les dimensions est exactement la même que celle de Poincaré pour les cardinaux.

Ok merci beaucoup, j'imagine qu'il faut remplacer les unions par des sommes (c'est effectivement le cas pour n=2) ?
Sinon la dimension de l'union de sous-espaces vectoriels n'est pas définie.

Vous allez probablement me dire "c'est évident!" mais on ne sait jamais...

Bon ben apparement c'est faux pour 3 sous espaces vectoriels ...
Exemple :
dans IR^n,
Soient a et b deux vecteurs non colinéaires
Soit c un vecteur tel que :
- a et c ne soient pas colinéaires,
- b et c ne soient pas colinéaires,
- (a, b, c) soit une famille liée.

l'égalité pour les dimensions donne :
2 = 1 + 1 + 1 - 0 - 0 - 0 + 0 = 3
Or je crois bien que c'est faux

Bonjour,

Mais est ce que c'est possible d'avoir a, b et c non colinéaires deux à deux et (a,b,c) liées? Je sais pas, je pose juste la question.

Dans IR^3 par exemple il suffit de prendre a et b non colinéaires, puis

avec
non nul

Ce qui revient à prendre c dans le plan engendré par (a,b) sans le prendre sur les droite engendrées par a ou b.

Effectivement, mais dans ce cas la dimension de (vect(a)+vect(b))vec(c) n'est pas nul, si? Pour moi, c'est une droite, donc de dimension "1". On retrouve bien 2.

Sans conviction.

Heu tu parles de ta formule là ?
Parce que ce que j'ai écrit, c'était uniquement pour la formule du crible de Poincaré.
Or le terme que tu cite n'y apparaît pas.

Le problème de ta formule c'est qu'elle utilise des termes croisés sommes/intersections justement, et ce n'est donc pas une généralisation "facile"

Effectivement, on ne parlais pas de la même chose.

T's esssayé de la prouver d'abord, pour savoir si ça marche aussi pour les dimensions?

Sauf erreur, une petite récurrence démontre ta formule.

Le problème c'est que le fait d'avoir encore des sommes ne m'aide pas plus...

Non, je parlais de Poincaré. On sait que ça marche sur les cardinaux, mais est-ce-qu'on est sur que ça marche sur les dimensions?

Je ne comprends pas ce que tu demandes :
- La formule de Grassmann est vraie (c'est Grassmann qui l'a dit, pas moi ).
- La formule de Poincaré pour n=2 en remplaçant les cardinaux par des dimensions et les unions par des sommes est vraie pour des espaces vectoriels (puisque ça donne exactement la formule de Grassmann).
- La formule de de Poincaré pour n supérieur ou égal à 3 en remplaçant les cardinaux par des dimensions et les unions par des sommes est fausse pour des espaces vectoriels (c'est ce que viens de montrer mon exemple).

Tu veux démontrer quoi ?

Bah non, voilà là où je voulais en venir: ça marche pas pour les dimensions quand n>2.

Pas cette formule effectivement, mais il existe peut-être une autre généralisation.

Il ne nous reste plus que faire un 'tite recherche sur Google.

J'ai déjà essayé, mais je n'ai malheureusement rien trouvé
Bon sinon si quelqu'un veut m'aider, on peut se restreindre à des espaces vectoriels finis.
D'ailleurs j'en profite pour poser une petite demande : si quelqu'un trouve a une page/un cours/un truc intéressant qui parle des espaces vectoriels finis, ça m'intéresse aussi (attention pas "de dimension finie", mais "finis" tout court).
Merci à toi en tout cas

De rien, même si j'ai rien fait.
Espace vectoriel fini? Tiens, je n'avais jamais entendu parlé. Ca m'intéresse aussi.

En gros, dans ce que j'ai sous les yeux, on dit que F est un groupe abélien fini, et que donc on peut associer à F^m une structure d'espace vectoriel, sauf qu'ils ne précisent pas comment

Bonjour

Si on a un groupe abélien fini de cardinal pⁿ avec p premier, on peut toujours le voir comme un Z/pZ espace vectoriel de dimension n. En revanche, un groupe abélien dont le cardinal n'est pas de cette forme, n'a aucune chance d'être un espace vectoriel!

Ahhhhh merci, ça m'éclaire beaucoup plus !
Bon j'ai compris le principe, j'y retourne !

Bon voici ce que j'ai finalement trouvé sur les espaces vectoriels finis, qui complète ce que dit Camélia.

"Finite vector spaces

Apart from the trivial case of a zero-dimensional space over any field, a vector space over a field F has a finite number of elements if and only if F is a finite field and the vector space has a finite dimension. Thus we have F_q, the unique finite field with q elements. Here q must be a power of a prime (q = p^m with p prime). Then any n-dimensional vector space V over F_q will have qⁿ elements. Note that the number of elements in V is also the power of a prime. The primary example of such a space is the coordinate space (F_q)ⁿ."

Source :
Wikipedia,
http://en.wikipedia.org/wiki/Examples_of_vector_spaces#Finite_vector_spaces