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Formule de moivre

Posté par
ophelie2110 31-10-14 à 13:05

Bonjour, pour dans 3 jours je dois réaliser la démontration de la formule de moivre néanmoins celle que je trouve sur internet me paraissent très compliquée et je ne veux pas recopier quelque chose que je ne comprends pas. Par conséquent, j'ai essayé de faire la démonstration par moi même mais je reste bloquée. La consigne est démontrer : pour tout n appartient aux entier naturels et pour tout téta appartient à l'ens. des réels (cos(téta)+isin(téta)n=cosn(téta)+isin n (téta) Voici ce que j'ai fait :

1) Initialisation : pr n=0
La prop est vraie
2) hérédité On supp que (cos(téta)+isin(téta)n=cosn(téta)+isinn(téta)
On doit démontrer (cos(téta)+isin(téta)n+1=cos(téta)(n+1)+isin(n+1)(téta)
(cos(téta)+isin(téta))n+1=(cos(téta)+isin(téta))n*(cos(téta)+isin(téta))1
Le pb est comment calculer avec un n en exposant? Pcq en suite j'ai fait :
= (cos(téta)n+isin(téta)n)(cos(téta)+isin(téta))
Mais ai-je le droit? Si non comment procéder alors? Merci.

Posté par
parkstreetre : Formule de moivre 31-10-14 à 13:13

Bonjour,
ta démonstration est très bien, tu as le droit de dire que \left ( cos( \theta )+isin(\theta) \right )^n=cos(n\theta)+isin(n\theta) puisque c'est ton hypothèse de récurrence, que tu supposes vraie au rang n.
Je ne vois pas ce qui te bloque

Posté par
Barneyre : Formule de moivre 31-10-14 à 13:16

Bonjour,

cos + i sin = ei

(ei)n = ein

ein = cos(n) + i sin(n)

Posté par
parkstreetre : Formule de moivre 31-10-14 à 13:21

@Barney : (e^{i\theta})^n=e^{in\theta} est justement ce que l'on veut démontrer.

Posté par
Barneyre : Formule de moivre 31-10-14 à 14:38

cosa.cosb = (1/2)(cos(a+b)+cos(a-b))
sina.sinb = (1/2)(cos(a-b)-cos(a+b))
sina.cosb = (1/2)(sin(a+b)+sin(a-b))


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