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Formule explicite et récurrence d'une suite

Posté par
azpo
24-10-21 à 21:41

Bonsoir, j'ai quelques lacunes au niveau des suites puisqu'apparemment on était censé les avoir vu en première. Je viens chercher de l'aide ici car je bloque depuis hier sur ces questions. Mon exercice traite d'une suite géométrique.

"Un = [1-(1/4)]*[1-(1/9]*...*[1-(1/n2)]

Les question 1) et 2) demandent de créer un algorithme et de faire une conjecture selon les premiers termes, je l'ai codé sans trop de difficulté.
Les premiers terme sont:
U2=0.75
U3=0.6666666666666666
U4=0.625
U5=0.6
U6=0.5833333333333333
U7=0.5714285714285714
U8=0.5625
U9=0.5555555555555556
U10=0.55
La suite semble donc décroissante et borné par 1/2.


3) Démontrer que pour tout entier n ≥ 2, on a
Un+1 = [n(n+2) / (n+1)2] * Un

4) Démontrer que pour tout entier n ≥ 2, on a
Un = (n+1) / (2n)

[5) Prouver les conjectures émises à la question 2

Merci à ceux qui répondront

Posté par
LeHibou
re : Formule explicite et récurrence d'une suite 24-10-21 à 22:55

Bonsoir,

D'après la forme générale de la suite, tu as immédiatement :
Un+1 = (1 - 1/(n+1²))Un
De là, tu peux retrouver la forme proposée en 3)

Pour 4), une preuve par récurrence à partir de 3) fonctionne.

Pour 5), utilise 4)

Posté par
LeHibou
re : Formule explicite et récurrence d'une suite 24-10-21 à 22:57

Et par ailleurs, cette suite n'est pas géométrique comme tu le dis dans l'énoncé, car Un+1/Un n'est par constant.

Posté par
azpo
re : Formule explicite et récurrence d'une suite 24-10-21 à 23:29

LeHibou @ 24-10-2021 à 22:57

Et par ailleurs, cette suite n'est pas géométrique comme tu le dis dans l'énoncé, car Un+1/Un n'est par constant.

J'me sens un peu débile puisque la formule de Un+1 est celle que j'ai utilisé dans mon programme...
Par contre je vois pas comment je peux utiliser la récurrence pour passer de Un+1 à Un

Posté par
carpediem
re : Formule explicite et récurrence d'une suite 25-10-21 à 09:31

salut

pour faire les questions 3/ et 4/ il serait fortement utile d'avoir les résultats des questions 1/ et 2/ sous forme de fractions irréductibles ...

Posté par
LeHibou
re : Formule explicite et récurrence d'une suite 25-10-21 à 09:32

Citation :
Par contre je vois pas comment je peux utiliser la récurrence pour passer de Un+1 à Un

Il s'agit plutôt de passer de Un à Un+1
Commence par vérifier l'initialisation, laformule proposée en 4) doit fonctionner avec les calculs explicites que tu as fait en 1) pour U2, U3...
Ensuite, ton hypothèse de récurrence est la formule proposée en 4 :
Un = (n+1) / (2n)
Ce que tu dois démontrer c'est que Un+1 est de la même forme, en remplaçant n par n+1, donc tu espères obtenir :
Un+1 = ((n+1)+1) / (2(n+1))
Pour cela tu utilises la formule démontrée en 3) :
Un+1 = [n(n+2)/(n+1)²]Un
Dans laquelle tu remplaces Un par ton hypothèse de récurrence :
Un = (n+1)/(2n)
Le reste, c'est du calcul...

Posté par
azpo
re : Formule explicite et récurrence d'une suite 25-10-21 à 10:11

carpediem @ 25-10-2021 à 09:31

salut

pour faire les questions 3/ et 4/ il serait fortement utile d'avoir les résultats des questions 1/ et 2/ sous forme de fractions irréductibles ...

du coup
U2 = 3/4
U3 = 2/3
U4 = 5/8
U5 = 2/5

Comment je pourrais les utiliser dans une démonstration par réccurence ?

Posté par
LeHibou
re : Formule explicite et récurrence d'une suite 25-10-21 à 10:40

Citation :
Comment je pourrais les utiliser dans une démonstration par réccurence ?

Lis mon post de ce matin à  9h32

Posté par
azpo
re : Formule explicite et récurrence d'une suite 25-10-21 à 10:55

LeHibou @ 25-10-2021 à 09:32

Citation :
Par contre je vois pas comment je peux utiliser la récurrence pour passer de Un+1 à Un

Il s'agit plutôt de passer de Un à Un+1
Commence par vérifier l'initialisation, laformule proposée en 4) doit fonctionner avec les calculs explicites que tu as fait en 1) pour U2, U3...
Ensuite, ton hypothèse de récurrence est la formule proposée en 4 :
Un = (n+1) / (2n)
Ce que tu dois démontrer c'est que Un+1 est de la même forme, en remplaçant n par n+1, donc tu espères obtenir :
Un+1 = ((n+1)+1) / (2(n+1))
Pour cela tu utilises la formule démontrée en 3) :
Un+1 = [n(n+2)/(n+1)²]Un
Dans laquelle tu remplaces Un par ton hypothèse de récurrence :
Un = (n+1)/(2n)
Le reste, c'est du calcul...



ok donc,
initialisation :
U2 = 1-1/4 = 3/4

Pour n = 2, U2 = \frac{2+1}{2*2} = \frac{3}{4}

L'initialisation est vérifié

Hérédité :
On suppose qu'il existe un entier k tel que Uk = \frac{k+1}{2k}
Montrons alors que Uk+1 est vrai, c'est-à-dire, Uk+1 = \frac{k+1+1}{2k+1}

D'après l'énoncé,Uk+1 = \frac{k(k+2)}{(k+1)²}*Uk

Uk+1 = \frac{k(k+2)}{(k+1)²}*\frac{k+1}{2k}

Uk+1 = \frac{k+2}{k+1}*\frac{1}{2}

Uk+1 = \frac{k+1+1}{2k+2}

J'y suis presque mais y'a un 1 en trop en dénominateur

Posté par
azpo
re : Formule explicite et récurrence d'une suite 25-10-21 à 10:56

LeHibou @ 25-10-2021 à 10:40

Citation :
Comment je pourrais les utiliser dans une démonstration par réccurence ?

Lis mon post de ce matin à  9h32

Oui je viens de le poster mais je crois qu'à part pour l'initialisation calculer les premiers termes ne m'aide pas trop

Posté par
LeHibou
re : Formule explicite et récurrence d'une suite 25-10-21 à 12:45

Mais si, regarde bien, tu es bien arrivé au bon résultat :
Un+1 = (n+2)/(2n+2)

Posté par
azpo
re : Formule explicite et récurrence d'une suite 25-10-21 à 13:21

LeHibou @ 25-10-2021 à 12:45

Mais si, regarde bien, tu es bien arrivé au bon résultat :
Un+1 = (n+2)/(2n+2)


Ah oui car ce n'est pas Un+1 = \frac{k+1+1}{2k+1}
mais Un+1 = \frac{(k+1)+1}{2(k+1)}

Posté par
azpo
re : Formule explicite et récurrence d'une suite 25-10-21 à 13:36

Donc pour la 5), il ne me reste plus qu'à faire la limite de la suite qui est 0, et montrer que Un+1 < Un

Un+1-Un = -\frac{1}{2n²+2n}

(Un) est donc décroissante, bornée par 2 et 0, converge vers 0

Posté par
LeHibou
re : Formule explicite et récurrence d'une suite 25-10-21 à 15:34

Le sens de variation est correct, mais la limite est fausse, reprend ta conjecture en 1), la limite semble être 1/2, il faut le démontrer proprement.

Posté par
azpo
re : Formule explicite et récurrence d'une suite 25-10-21 à 18:42

LeHibou @ 25-10-2021 à 15:34

Le sens de variation est correct, mais la limite est fausse, reprend ta conjecture en 1), la limite semble être 1/2, il faut le démontrer proprement.


lim Un = (n+1)/(2n)

lim Un = \frac{n(1+\frac{1}{n})}{n(2)} = \frac{1+\frac{1}{n}}{2}

lim Un = 1/2

Posté par
LeHibou
re : Formule explicite et récurrence d'une suite 26-10-21 à 09:19

Citation :
lim Un = (n+1)/(2n)

C'est exact, et la suite aussi, mais attention à la formulation :
lim Un = lim (n+1)/(2n)
etc...

Posté par
azpo
re : Formule explicite et récurrence d'une suite 26-10-21 à 10:21

LeHibou @ 26-10-2021 à 09:19

Citation :
lim Un = (n+1)/(2n)

C'est exact, et la suite aussi, mais attention à la formulation :
lim Un = lim (n+1)/(2n)
etc...


D'accord, merci pour la précision et l'aide non négligeable que tu as pu m'apporter pour cette exercice !

Posté par
LeHibou
re : Formule explicite et récurrence d'une suite 26-10-21 à 10:30

C'était un plaisir !

PS "exercice" est masculin, donc on écrit "cet exercice"



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