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Formule explicite et récurrence d'une suite
Bonsoir, j'ai quelques lacunes au niveau des suites puisqu'apparemment on était censé les avoir vu en première. Je viens chercher de l'aide ici car je bloque depuis hier sur ces questions. Mon exercice traite d'une suite géométrique.
"Un = [1-(1/4)]*[1-(1/9]*...*[1-(1/n2)]
Les question 1) et 2) demandent de créer un algorithme et de faire une conjecture selon les premiers termes, je l'ai codé sans trop de difficulté.
Les premiers terme sont:
U2=0.75
U3=0.6666666666666666
U4=0.625
U5=0.6
U6=0.5833333333333333
U7=0.5714285714285714
U8=0.5625
U9=0.5555555555555556
U10=0.55
La suite semble donc décroissante et borné par 1/2.
3) Démontrer que pour tout entier n ≥ 2, on a
Un+1 = [n(n+2) / (n+1)2] * Un
4) Démontrer que pour tout entier n ≥ 2, on a
Un = (n+1) / (2n)
[5) Prouver les conjectures émises à la question 2
Merci à ceux qui répondront
Bonsoir,
D'après la forme générale de la suite, tu as immédiatement :
Un+1 = (1 - 1/(n+1²))Un
De là, tu peux retrouver la forme proposée en 3)
Pour 4), une preuve par récurrence à partir de 3) fonctionne.
Pour 5), utilise 4)
Et par ailleurs, cette suite n'est pas géométrique comme tu le dis dans l'énoncé, car Un+1/Un n'est par constant.
Et par ailleurs, cette suite n'est pas géométrique comme tu le dis dans l'énoncé, car Un+1/Un n'est par constant.
J'me sens un peu débile puisque la formule de Un+1 est celle que j'ai utilisé dans mon programme...
Par contre je vois pas comment je peux utiliser la récurrence pour passer de Un+1 à Un
salut
pour faire les questions 3/ et 4/ il serait fortement utile d'avoir les résultats des questions 1/ et 2/ sous forme de fractions irréductibles ...
Par contre je vois pas comment je peux utiliser la récurrence pour passer de Un+1 à Un
Il s'agit plutôt de passer de Un à Un+1
Commence par vérifier l'initialisation, laformule proposée en 4) doit fonctionner avec les calculs explicites que tu as fait en 1) pour U2, U3...
Ensuite, ton hypothèse de récurrence est la formule proposée en 4 :
Un = (n+1) / (2n)
Ce que tu dois démontrer c'est que Un+1 est de la même forme, en remplaçant n par n+1, donc tu espères obtenir :
Un+1 = ((n+1)+1) / (2(n+1))
Pour cela tu utilises la formule démontrée en 3) :
Un+1 = [n(n+2)/(n+1)²]Un
Dans laquelle tu remplaces Un par ton hypothèse de récurrence :
Un = (n+1)/(2n)
Le reste, c'est du calcul...
salut
pour faire les questions 3/ et 4/ il serait fortement utile d'avoir les résultats des questions 1/ et 2/ sous forme de fractions irréductibles ...
du coup
U2 = 3/4
U3 = 2/3
U4 = 5/8
U5 = 2/5
Comment je pourrais les utiliser dans une démonstration par réccurence ?
Comment je pourrais les utiliser dans une démonstration par réccurence ?
Lis mon post de ce matin à 9h32
Par contre je vois pas comment je peux utiliser la récurrence pour passer de Un+1 à Un
Il s'agit plutôt de passer de Un à Un+1
Commence par vérifier l'initialisation, laformule proposée en 4) doit fonctionner avec les calculs explicites que tu as fait en 1) pour U2, U3...
Ensuite, ton hypothèse de récurrence est la formule proposée en 4 :
Un = (n+1) / (2n)
Ce que tu dois démontrer c'est que Un+1 est de la même forme, en remplaçant n par n+1, donc tu espères obtenir :
Un+1 = ((n+1)+1) / (2(n+1))
Pour cela tu utilises la formule démontrée en 3) :
Un+1 = [n(n+2)/(n+1)²]Un
Dans laquelle tu remplaces Un par ton hypothèse de récurrence :
Un = (n+1)/(2n)
Le reste, c'est du calcul...
ok donc,
initialisation :
U2 = 1-1/4 = 3/4
Pour n = 2, U2 =
L'initialisation est vérifié
Hérédité :
On suppose qu'il existe un entier k tel que Uk =
Montrons alors que Uk+1 est vrai, c'est-à-dire, Uk+1 =
D'après l'énoncé,Uk+1 =
Uk+1 =
Uk+1 =
Uk+1 =
J'y suis presque mais y'a un 1 en trop en dénominateur
Comment je pourrais les utiliser dans une démonstration par réccurence ?
Lis mon post de ce matin à 9h32
Oui je viens de le poster mais je crois qu'à part pour l'initialisation calculer les premiers termes ne m'aide pas trop
Mais si, regarde bien, tu es bien arrivé au bon résultat :
Un+1 = (n+2)/(2n+2)
Ah oui car ce n'est pas Un+1 =
mais Un+1 =
Donc pour la 5), il ne me reste plus qu'à faire la limite de la suite qui est 0, et montrer que Un+1 < Un
Un+1-Un =
(Un) est donc décroissante, bornée par 2 et 0, converge vers 0
Le sens de variation est correct, mais la limite est fausse, reprend ta conjecture en 1), la limite semble être 1/2, il faut le démontrer proprement.
Le sens de variation est correct, mais la limite est fausse, reprend ta conjecture en 1), la limite semble être 1/2, il faut le démontrer proprement.
lim Un = (n+1)/(2n)
lim Un =
lim Un = 1/2
lim Un = (n+1)/(2n)
C'est exact, et la suite aussi, mais attention à la formulation :
lim Un = lim (n+1)/(2n)
etc...
lim Un = (n+1)/(2n)
C'est exact, et la suite aussi, mais attention à la formulation :
lim Un = lim (n+1)/(2n)
etc...
D'accord, merci pour la précision et l'aide non négligeable que tu as pu m'apporter pour cette exercice !
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