allo???

salut
a+b+c=Pi
donc c=Pi-a-b

donc c/2=Pi/2 - (a+b)/2
et donc sin(c/2)=cos[(a+b)/2]

A=1+4*sin(a/2)*sin(b/2)*sin(c/2)=1+4*sin(a/2)*sin(b/2)*cos[(a+b)/2]

maintenant il faut demontrer la formule suivante :
x et y dans R :
sin(x)-sin(y)=2*cos[(x+y)/2]*sin[(x-y)/2]

sin(x)=sin[ (x+y)/2 + (x-y)/2 ] = sin[(x+y)/2]*cos[(x-y)/2]+cos[(x+y)/2]*sin[(x-y)/2]
sin(y)=sin[ (x+y)/2 - (x-y)/2 ] = sin[(x+y)/2]*cos[(x-y)/2] - cos[(x+y)/2]*sin[(x-y)/2]

on faisant la difference on a bien :
sin(x)-sin(y)=2*cos[(x+y)/2]*sin[(x-y)/2] (1)

on utilise (1) pour x=a/2+b et y=a/2

sin(a/2+b)-sin(a/2)=2*cos[(a+b)/2]*sin(b/2)

donc A= 1 +2*sin(a/2)*[sin(a/2+b) - sin(a/2)] = 1+2*sin(a/2)*sin(a/2+b)-2*sin(a/2)*sin(a/2)

on demontrera de meme la formule suivante :
x et y dans R :
cos(y)-cos(x)=2*sin[(x+y)/2]*sin[(x-y)/2]

en prenant x=a+b et y=-b :
cos(-b)-cos(a+b)=2*sin(a/2)*sin(a/2+b)

donc A = cos(b)-cos(a+b) + [1-2sin²(a/2)]

or cos(a)=1-2sin²(a/2)
donc A=cos(b)+cos(a) - cos(a+b)

or cos(c)=cos(Pi-(a+b))=-cos(a+b)

donc A=cos(b)+cos(a)+cos(c)

on a donc 1+4*sin(a/2)*sin(b/2)*sin(c/2)=cos(a)+cos(b)+cos(c)

merci