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Generateur groupe finis
Bonjour à tous , alors j'ai un peu de mal à déterminer les générateurs dans les groupe finis , je sais juste que pour un groupe fini ou p est premier ,
groupe multiplicatif et est abstraitement isomorphe à Z/(p-1)Z et dans ce cas le nombre de générateur dans
est
(fonction phi d'Euler ) , je veux par exemple déterminer les générateurs pour
P=7 , P=11 , P=13 , p=19 , pour rappelle est un groupe cyclique .
alors je sais que par exemple pour p=7 ; je dois du coups tester chaque nombre c'est a dire élever à la puissance 1 , 2...,7 pour voir ci le nombre cycle correctement , mais je trouve un peux long de tester à chaque foi et regarder le calcul modulo p
pour p=7 ya pas de soucis le nombre de générateur est je trouve 3 et 5 comme générateur , mais ça devient plus compliqué pour P=17 , si vous avez une astuce je suis preneur , merci
Bonjour,
Pour p=17, ce n'est pas trop dur. Le groupe multiplicatif est cyclique d'ordre . Si un élément
n'est pas générateur, il est d'ordre un diviseur strict de
et donc diviseur de
; par conséquent
(modulo 17).
Bonjour GBZM je ne suis pas sur à 100% de comprendre ce que vous me suggérer du coup je vais du principe que je regarde à chaque fois les a qui ne sont pas premier à{2,2^1,2^2,2^3} pour que a ne soit pas générateur ?
Non, ce n'est pas ça du tout. Sais-tu ce qu'est l'ordre d'un élément dans un groupe ?
Ce que je suggérais était d'éliminer les tels que
. Ça se fait très facilement avec une table des carrés du groupe multiplicatif de
, puisque
.
GBZM il me semble avoir compris le principe , du coup le principe reste le même? c'est a dire pour p=19? comment pourrais je faire , j'ai bien compris pour p=17 , c'était plus facile car 16 est une puissance de 2
ah !!!! 
je crois avoir compris ce que vous me proposez de faire , du coup je vais éliminer tout les a tel que a^6 ou a^9 = 1mod19 , ?
Exact.
Ça fait tout de même du boulot, mais un peu moins que d'élever les entiers modulo 19 à toutes les puissances jusqu'à 18 !
Exact.
Ça fait tout de même du boulot, mais un peu moins que d'élever les entiers modulo 19 à toutes les puissances jusqu'à 18 !
je suis bien d'accord ,du coup les a qui seront générateurs sont les a dont a^6 ou a^9
1 mod19 parce-que moi ce qui m'intéresse au fond est d'avoir les générateurs ,du coup les a qui seront générateurs sont les a dont a^6 ou a^9
1 mod19 parce-que moi ce qui m'intéresse au fond est d'avoir les générateurs ,Je crois que tu es loin d'avoir compris. Les générateurs du groupe multiplicatif de
Pourquoi pas 2 ? Parce qu'un
mais oui pour a=2 , ma question était stupide , et oui avec tes explications c'est plus claire , merci infiniment GBZM J'ai parfaitement compris
Je suis tombé sur Lagrange : Pour tout groupe fini G et tout sous-groupe H de G, l'ordre de H (c'est-à-dire son cardinal) divise celui de G ,
du coup pour un groupe fini Z/pZ par exemple il suffira de trouver tout les d<phi(p) tel que d/phi(p) (phi(p) est bien sur lordre de Z/pZ , ensuite tout ce tu as énonce plus deviens encore plus claire et plus logique dans ma tête , pour conclure qu'ils ne sont pas générateur . je comprend pourquoi tu mas demandé si je connaissait l'ordre d'un élément ... merci c'est un petit détail très important en crypto je me devais de bien comprendre cette notion de générateur , tu m'as enlever une lame du pied , merci encore GBZM
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