Voila mes conjectures pour la partie A:
1) Les droites (AB) sont toutes parralleles.
2) M est toujours sur l'axe des ordonnées.
3) f(x) est au dessus de g(x) pour x>1.15
f(x) coupe g(x) pour x=1.15
et enfin f(x) est en dessous de g'x) pour x compris entre 0 et 1.15.
Mais pour a partie B j'y ai passé des heures à tester des trucs mais rien de bien.... Merci d'avance  pour votre aide!

Bonjour,

partie B 1)Déterminer les coordonnées des points A et B en fonction de a. Démontrer alors la conjecture faire en A1)

bein c'est remplacer x par a dans la formule pour avoir ces coordonnées
A (a; f(a))
B (-a; f(-a))

puis calculer le coefficient directeur de la droite (AB)

C'est ce que j'ai fais mais je me demande si je ne me suis pas tromper:
A(a; -a+ racine(a²+4))
B(-a; a+ racine(a+4))

et pour le coeff directeur, m=(yb-ya)/(xb-xa)
m= (2a+racine(a+4)-racine(a²+4))/(-2a)

Voila, mais déjà je ne suis pas très sur d'avoir bien réalisé mes calculs (même si je les ai fais plusieurs fois donc si vous pouviez me les confirmer svp) ensuite à partir de ce coefficient directeur je ne vois pas trop comment répondre à la question. Je sais que des droites parallèles ont le même coefficient directeur mais comment le montrer?
Merci d'avance!

B est faux
(-a)² = a², pas a

et tu verras que m se simplifie énormément !!
(en accord avec la conjecture n'est ce pas)

Autant pour moi, pour B c'est (-a; a +racine(a²+4)) donc je recommence mes calculs!
m=(a+a+racine(a²+4)-racine(a²+4))/(-2a)=2a/(-2a)=-1
Elles ont toutes un coefficient directeur de -1 donc sont parallèles! Voila sans erreur de calcul, c'est plus facile!

la suivante : tu dois déja déterminer la dérivée de f(x) pour calculer les équations des tangentes en (a; f(a)) et en ((-a); f(-a))

Merci beaucoup de l'aide!
Ensuite pour la B2).
f'(x)= -1+ (2x)/(2racine(x²+4))= -1+(x/racine(x²+4)).
Vu que c'est la tangente en A et B je suppose que je dois remplacer x par a et -a et comme c'est leur point d'intersection, c'est le moment où elles sont égals?
Donc comment trouver les coordonnés de M?
(c'est rare que je cale comme ça sur un exercice...).
Merci d'avance!

il faut écrire les équations des tangentes,
ou tout au moins raisonner à partir de cette équation pour trouver son "ordonnée à l'origine"
(le point où elle coupe l'axe des ordonnées, x = 0)

c'est bien plus simple de calculer les deux points d'intersections avec l'axe des ordonnées et prouver que c'est le même
que de calculer le point d'intersection des deux tangentes et de prouver qu'il est sur Oy !


rappel : l'équation d'une tangente en un point (a; f(a)) d'une courbe quelconque est
y = f '(a)(x-a) + f(a)

Ouaw... Vous me faites faire des miracles... Donc voila:
yA=-x+((ax+4)/(racine(a²+4))
yB=-x+((-ax+4)/(racine(a²+4))
Pour x=0 on a la même ordonnée à l'origine qui est 4/(a²+4) Donc les tangentes se coupent toujours sur l'axe des ordonnées en un point M!
Merci . On passe à la dernière question?
Déjà que je ne sais même pas ce qu'est une fonctions composées...

j'ai essayé de remplacer le x de f(x) par la fonction g et inversement et je trouve des choses assez compliqués:
g(f(x))=(8+2x*racine(x²+4))/(-2x+2racines(x²+4))
f(g(x))=((-4+x²)/2x)+ racine((16-8x²-x^4 +16)/4x))
Déjà je pense que mes résultats sont faux et puis comment démontrer sa conjecture avec ça?

d'après la conjecture on devrait avoir g(f(x)) = f(g(x)) = l'identité = x
(les fonctions f et g sont l'inverse l'une de l'autre, g(x) est la fonction réciproque de f(x) et vice versa)

j'écris en LaTeX sinon c'est illisible :



je remplace textuellement x par



y a plus qu'à développer ça ... (sans se tromper sur les signes ou les carrés un peu partout comme tout à l'heure)
ça se simplifie effectivement en g(f(x)) = x
du moment que f(x) est différent de 0 (g(x) n'est pas définie en x = 0, donc en remplaçant g(f(x)) n'est pas définie quand f(x) = 0

pareil pour l'autre



etc.

Deux problèmes: je ne comprend pas le rapport entre le fait que f et g soit des fonctions inverses avec la conjecture. Enfin comment repond t on a la question apres avoir prouvé qu'elles sont inverses ( quel est le rapport en quelque sorte).
-Aucun problème pour g (f (x)), je trouve bien x.
-Je n'arrive pas à simplifier f (g (x)).
Encore Merci du temps accordé!

reconnaitre un carré sous le radical après développement correct

le dénominateur est et le terme 4 se transforme en pour réduire au même dénominateur et faire la somme

et aussi on se demande bien pourquoi ton terme en est affublé d'un signe moins...

(identité remarquable (a - b)² n'est pas a² - 2ab - b² mais a² - 2ab b²)


pour les fonctions inverses l'une de l'autre (il vaudrait mieux parler de "réciproque" pour éviter des confusions) cela veut dire que la fonction

f: x ---> y = f(x)

à partir d'une valeur x calcule une image y

et g: y ---> x = g(y)
calcule l'antécédent x de la valeur y de la fonction f !!

car g(f(x)) c'est ... x !

(et que aussi f(g(y)) = y, qu'on peut renommer en x, ce y)

le lien avec la conjecture (qui est que les deux courbes sont symétriques par rapport à la droite y = x)
bein c'est traduire la symétrie en termes de x et de y d'un point P quelconque de y = f(x) et comparer avec les relations précédentes.

Encore merci!