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Géométrie : 3 triangles dans un cercle...

Posté par philoux (invité) 15-10-05 à 11:10

Bonjour,

En voulant résoudre une JFF (qui n'a pas trop accroché...), je me retrouve à rechercher le Cercle minimal pouvant contenir 3 triangles équilatéraux de côté a  (a=15cm pour le calcul).

J'ai trouvé un rayon R=14,3026... cm en  procédant analytiquement.

Je suis à peu près certain que l'on peut résoudre ce problème trigonométriquement ( sûrement avec des pi/6 ou pi/3 ) mais je n'aboutis pas.

Si d'aucuns sont à l'aise avec la géométrie, je leur remercie de poster leur réponse (voire de confirmer/infirmer la mienne avec d'autres méthodes plus sioux...)

Merci à vous,

Philoux

Géométrie : 3 triangles dans un cercle...

Posté par
piepalm
re : Géométrie : 3 triangles dans un cercle... 15-10-05 à 11:51

Soit A le point commun aux trois triangles, O le centre du cercle x=OA et s=rac(3)/2 la hauteur d'un triangle équilatéral. O appartient au coté commun aux triangles vert et jaune et à la hauteur du triangle bleu abaissée sur le coté contenant A.
On a donc R=as+xs=(a+x)s et R^2=a^2+x^2-ax=(a+x)^2-3ax=R^2/s^2-3a(R/s-a)
donc R^2-6rac(3)aR+9a^2=0 donc R/a=3(rac(3)-rac(2))

Posté par philoux (invité)re : Géométrie : 3 triangles dans un cercle... 15-10-05 à 17:46

Merci piepalm

Une nouvelle fois, une résolution en 3 lignes...

Chapeau !

Philoux

Posté par philoux (invité)re : Géométrie : 3 triangles dans un cercle... 15-10-05 à 17:50

Autre question

Me doutant qu'il y aurait du V3 dans la réponse (lié au pi/3) (et éventuellement du V2 lié au pi/4), connaissez-vous un outil permettant d'envisager une combinaison linéaire de ces valeurs à partir d'une valeur numérique donnée : ici R=14,3026... (j'sais pas si j'suis clair...)

Merci à l'avance,

Philoux

Posté par
piepalm
re : Géométrie : 3 triangles dans un cercle... 15-10-05 à 18:55

Non, je ne vois pas très bien...
Par contre, ça me fait penser à un petit problème assez sympathique: quels sont les chiffres qui entourent la virgule dans l'écriture décimale de (rac(3)+rac(2))^2004?

Posté par philoux (invité)re : Géométrie : 3 triangles dans un cercle... 17-10-05 à 13:52

Bonjour piepalm,

On a donc R=as+xs=(a+x)s et  R^2=a^2+x^2-ax=(a+x)^2-3ax=R^2/s^2-3a(R/s-a)

Peux-tu, svp, m'indiquer comment tu obtiens ce qui est mis en gras : quel triangle as-tu exploité ?

Merci

Philoux

Posté par
piepalm
re : Géométrie : 3 triangles dans un cercle... 17-10-05 à 21:41

Al Kachi dans OAB si B est le point du triangle jaune sur le cercle



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