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Géométrie

Posté par
Saturo
07-02-24 à 18:18

Bonsoir les amis j'ai un problème de géométrie que j'arrive pas à faire j'aimerais un peu d'aide car j'ai même d'idée de par où commencer ;

Voici l'énoncé :

Déterminer l'ensemble des points du plan dont les coordonnées barycentriques a, b, c par rapport à un triangle ABC vérifient la relation: abAB² + bcBC² + caCA² = 0

Posté par
lake
re : Géométrie 07-02-24 à 18:42

Bonjour,
Une piste : le cercle ABC.
C'est un début que tu peux exploiter

Posté par
lake
re : Géométrie 07-02-24 à 19:31

Je précise un peu les choses en changeant tes notations un peu désastreuses
u\,:\,\,v\,:\,w sont les coordonnées barycentriques et a,b,c sont les mesures des côtés du triangle ABC
O est le centre du cercle ABC et R son rayon.

D'abord prouver que \overrightarrow{OA}.\overrightarrow{OB}=R^2-\dfrac{c^2}{2}   (2)  (et permutation circulaire).

Les coordonnées barycentriques u\,:\,\,v\,:\,w d'un point M vérifient :

 (u+v+w)\overrightarrow{OM}=u\overrightarrow{OA}+v\overrightarrow{OB}+w\overrightarrow{OC}  (1)

M\in ABC\Longleftrightarrow OM=R^2

On élève les deux membres de (1) au carré, on développe et on utilise (2) ...

Posté par
lake
re : Géométrie 07-02-24 à 19:51

Oubli d'un carré :

  

Citation :
M\in ABC\Longleftrightarrow OM^{\red 2}=R^2

Posté par
Saturo
re : Géométrie 08-02-24 à 12:02

Bonjour Iate merci pour ton aide ;

Voici ce que j'ai fait :

En changeant les notations AB=c , AC=b et BC=a
u , v et w les coordonnées barycentriques

( Excuse moi pour les notations des vecteurs)

Pour prouver que OA.OB = R^2 - (c^2/2)

Par définition OA.OB = (OA^2 + OB^2 - AB^2) /2
Ça donne direct ce qui est en haut !

Et OB.OC = R^2 - (a^2/2) et OA.OC = R^2 - ( b^2/2 )

En élevant au carré la relation avec les coordonnées barycentriques et aussi en remplaçant les OA.OB … par leurs expressions et OA=OB=OC=OM= R
on trouve :

uv(c^2) + uw ( b^2) + vw ( a^2) = 0

Merci beaucoup pour ton aide !

Posté par
lake
re : Géométrie 08-02-24 à 14:06

Bonjour,

Bien qu'il y ait équivalence, tu l'as plutôt fait dans "l'autre sens" :
En élevant les deux membres de (2) eu carré, on obtient :

 (u+v+w)^2OM^2=(u^2+v^2+w^2)R^2+2\left[uv\left(R^2-\dfrac{c^2}{2}\right)+vw\left(R^2-\dfrac{a^2}{2}\right)+wu\left(R^2-\dfrac{b^2}{2}\right)\right]
 \\

(u+v+w)^2OM^2=[u^2+v^2+w^2+2(uv+vw+wu)]R^2 (en utilisant l'hypothèse uvc^2+vwa^2+wub^2=0)

et la conclusion OM^2=R^2

Posté par
lake
re : Géométrie 08-02-24 à 14:11

Mais je pense que tu as bien compris !

Posté par
lake
re : Géométrie 08-02-24 à 14:23

Et vu qu'il y a équivalence (tu l'as fait dans un sens et moi dans l'autre) le lieu cherché est le cercle circonscrit ABC "complet".

Posté par
Saturo
re : Géométrie 08-02-24 à 19:36

Bonsoir,

Oui j'ai compris et je vais le refaire dans l'autre sens !

A la prochaine Iate !

Posté par
lake
re : Géométrie 08-02-24 à 19:52

Bonsoir,

k=t et réciproquement.
Ce n'est pas bien grave.
A une prochaine fois sur l'



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