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géométrie affine
bonjour à tous, voila je comprend pas grand chose à mon cours et aux exos d'éléments de géométrie, c'est pourquoi je vais poster des exercices types afin que quelqu'un m'explique comment les résoudre.
On se donne 2 applications affines f,g:E->E' et des ssea A de E et A' de E'
a)Rappeler et justifier ce que l'on peut dire de f(A) et de f-1(A').Discuter le cas échéant le rapport entre les dimensions.En particulier, que dire de l'image réciproque d'un point de E'?
b)Montrer que s'il n'est pas vide, l'ensemble A={p appartenant à E,f(p)=g(p)} est un ssea de E.Quel est sa direction?
Alors moi je dirais que f(A) et f-1(A') sont aussi des ssea(mais je sais pas le justifier) et que leurs dimensions sont les meme que A et A' respectivement.
Aprés je sais pas trop faire.
Merci d'avance de votre aide.
Bonjour robby3 
1)Ce sont bien des sea, mais f(A) est de dimension inférieure ou égale à A, et f-1(A) de dimension supérieure.
En effet si F et G sont les applications linéaires asociées et A' et B' les directions associées à A et B, alors par définition on a dim(f(A)) = dim(F(A'))dim(A'), avec égalité ssi la restriction de F à A est injective.
De même mais l'inégalité inverse pour f-1, avec égalité ssi B' est inclus dans Im(F) et si F restreinte à F-1(B') est injective.
Je te le prouve pour f(A) :
Soit a dans A, alors f(a) est dans f(A).
Il faut prouver que l'application de f(A) dans F(A') qui à un point u associe le vecteur est une bijection.
Soit u dans f(A): il existe v dans A tel que u=f(v).
L'application est injective car implique u=u'.
Elle est surjective car pour tout vecteur y de F(A') il existe x dans A' avec y=F(x).
Comme a est dans A cela implique par définition de A et de A' qu'on peut trouver v dans A tel que x= .
Alors y=f(x)= avec f(v) dans f(A) ce qui conclut l'affaire :
f(A) est un espace affine de direction F(A'), donc de même dimension (par définition)
Bref on se ramène tout le temps à la direction asociée et à l'application linéaire associée par ce genre d'écritures.
Comprends-tu?
Tigweg
salut Tigweg, euhh je comprend pas tout lol, notamment ceci:"Il faut prouver que l'application de f(A) dans F(A') qui à un point u associe le vecteur est une bijection."
F est ce que c'est l'application linéaire associé à A et A' la direction du sea A??Je veux en etre sur lool
Je reprends je reprends!
Fais un dessin : A c'est des points d'un plan (pour simplifier), imagine que A' représente tous les vecteurs dessinables de ce plan.
Donc A' est la direction de A.
f(A) c'est un espace de points, image de A par Madame f (oui, je la sens très femme, va savoir pourquoi 
)
A f correspond l'application linéaire associée F, donc il est légitime de se dire que F(A') sera la direction de f(A).
Comment s'en assurer?
Grâce à la définition suivante:
Un ensemble X est un espace affine ssi il existe un EV Y , appelé la direction de X, tel que pour tout point a fixé de X, l'application qui au point b de X associe le vecteur ab de Y est bijective.
Ma définition n'est pas en soi très rigoureuse car je présuppose qu'il n'y a qu'un moyen de définir le vecteur ab à partir de a et de b fixés dans X.
Mais comme on raisonne dans un grand espace affine de départ E, c'est qu'il y a bien un et un seul moyen de définir un vecteur à partir de deux points de E quelconques.
Voilà l'idée.
De plus f étant affine et ayant pour application linéaire associée F, on a , le vecteur av étant dans A' (puisque a et v sont dns A) :
f(a)f(v) = F(av) 
F(A').
OK ?
Tigweg
LOL, ok pour Madame f, ça veut dire qu'à une application affine on peut associer une application linéaire??
a est dans dans donc f(a) est dans f(A),meme chose pour v, ah et comme cela indique la direction...ils sont dans F(A')...c'est bien ça??
Voui! 
Et par DEFINITION même d'une application affine, il existe F linéaire telle que f(a)f(v) = F(av) pour tout couple de points (a,v) fournissant le vecteur av (par définition d'un espace affine).
Tout est cohérent, comme tu le vois!
Tigweg
ok d'accord, donc f(a)f(v)=F(av) c'est par définition d'un EA.Ensuite j'avais d'autres questions lol, l'injectivité que tu as montré elle est trivial n'est ce pas...?et quand on tu conclusn je suis pas bien le truc, on est d'accord que le vecteur f(a)f(v)=F(av) appartient à F(A') et donc dirige A,donc comme la dimension d'un sea est la dimension de sa direction,dim(A)=dim(F(A'))=dim(F(av)) c'est bien ça??
(ps:ça a un sens d'écrire dim(F(av))??)
Merci encore pour les réponses.
si j'ai bien compris, on peut passer à la deuxieme partie de la question a) lol cad l'image réciproque d'un point de E'.
Merci encore.
Ouh là, attention à ne pas tout mélanger quand même!
Je reprends dans l'ordre:
ok d'accord, donc f(a)f(v)=F(av) c'est par définition d'un EA.
L'injectivité est triviale, oui.
Quand je conclus c'est pour la surjectivité: je suis parti d'un vecteur y dans l'espace d'arrivée F(A') et on montré qu'on peut trouver un point f(v) dans l'espace de départ f(A) tel que y soit le vecteur f(a)f(v).
Ainsi y est bien l'image d'un Monsieur de f(A) qui est le point f(v) ! (Eh oui, un point c'est masculin, tout de même!)
Donc l'application et surjective.
Ensuite
e vecteur f(a)f(v)=F(av) appartient à F(A') et donc dirige A,
donc comme la dimension d'un sea est la dimension de sa direction,dim(A)=dim(F(A'))=dim(F(av)) c'est bien ça??
Par contre ça n'a AUCUN sens ton dim F(av) !!!!!!!!!!!!!!!!!
F(av) est un VECTEUR, pas un espace!
On a fixé les points a et v, alors que f(A) est un espace affine et que F(A') un espace vectoriel : seuls eux ont une dimension!
Tigweg
oulalala!!lool, donc f(A) est dirigé par F(A'), avec f l'application linaire associé au sea A et F l'application linéaire associé à l'application affine f.Donc dim(f(A))=dim(F(A')) et de ça est ce qu'on peut en conclure quelque chose sur la dimension de A et de A'??
Non, puisque d'après mon premier post :
Ce sont bien des sea, mais f(A) est de dimension inférieure ou égale à A, et f-1(A) de dimension supérieure.
En effet si F et G sont les applications linéaires asociées et A' et B' les directions associées à A et B, alors par définition on a dim(f(A)) = dim(F(A')) < ou = dim(A'), avec égalité ssi la restriction de F à A est injective
Tout ce qu'on peut en déduire, c'est la même inégalité en ce quiconcerne les espaces affines associés!
OK?
Tigweg
et l'existence du couple de points(a,v) c'est par définition d'un ea par contre non?
Non , c'est par définition d l'image d'un ensemble A poar une application f :
si quelqu'un est dans f(A), il s'écrit f(a) avec a dans A (pas forcément unique)
Par contre l'existence de v dans A est due au fait que a y est et que x est dans A', pour tout point a et tout vecteur x, il y a un seul point v tel que x=av :
ca , c'est par definition de l'espace affine en effet!
Tigweg
bon d'accord,lol, heuresement que t'es la parce que je dis n'importe quoi
et donc on en déduis que des informations sur la dimension de f(A) et F(A'): cad dim(f(A))=dim(F(A')).
Ca c'est toujours vrai pour toute application linéaire F et tout sev A'.
En effet si e1,..en est une base de A', alors tout y de F(A') s'écrit F(
tkek)
soit y = tkF(ek).
Ainsi la famille F(ek) est génératrice dans F(A'), ce qui implique qu'on peut en extraire une base, dont le cardinal sera nécessairement inférieur ou égal au cardinal n de la famille.
Ainsi on a toujours dim (F(A')) 
dim (A')
Tigweg
salut Tigweg,merci de tes réponses et désolé pour la derniere fois, j'ai qqles soucis de connexion...
Je ve bien reprendre lol, j'ai revu un peu mes cours pour mieu comprendre, et je pense que ça va un peu mieu au niveau du cour, mais les exercices??bah jy arrive toujours pas notamment la question b).
Merci d'avance à tous ceux qui peuvent m'aider.
Pas de problème robby3!
Alors supposons qu'il existe a vérifiant f(a)=g(a) (autrement dit que A ne soit pas vide)
Appelons b le point f(a) (=g(a)).
Alors pour tout point p, on a:
pA <=> f(p)=g(p) <=> <=>
<=> F
<=> (F-G) () =
.
Vois-tu comment poursuivre?
Tigweg
resalut Tigweg,si j'ai bien relu mon cours, F et G sont les apllications linéaire associées respectivement aux applications affines f et g, le vecteur pa=vecteur u <=> p=a+u avec u dans E.
Mais la suite non je vois pas trés bien ou on veut en venir en faite.
Comme on a un élément fixé de A, il suffit de trouver un espace vectoriel A'(qui sera la direction de l'ea A) tel que :
pA <=> A'.
Il suffit de conclure dans la chaîne d'équivalences que je t'ai données avant...!
Tigweg
on a juste je crois bien le vecteur pa=vecteur u appartient à Ker(F-G)...mais aprés je sais pas, je vois vraiment pas...psss j'ai revu mon cours mais alors les exos je pige vraiment rien, c'est hallucinant.
Mort de rire, as-tu compris ce que je t'ai dit juste avant?
Comme on a un élément fixé de A, il suffit de trouver un espace vectoriel A'(qui sera la direction de l'ea A) tel que :
p
A <=> A'.
Ici tu viens d'obtenir : p
A <=> Ker (F-G).
Alors alors??? C'est quoi, Ke(F-G) ?
Un petit effort!
Tigweg
oué bah c'est la direction de A...non??C'est un sous espace vectoriel...Donc A est un sea de direction Ker(F-G).
Ben voilà!
Note qu'on a prouvé que A était un sea EN MEME TEMPS qu'on a trouvé sa direction!
Pourquoi t'as l'air tristouille comme ça, tout d'un coup?
Tigweg
lol, humm moué, chui dubitatif, en trouvant la direction comme on a fait, on prouve en meme temps que c'est un espace affine?? c'est ça??
C'est exactement ce que je viens de te dire, et que je peux te répéter avec conviction si nécessaire!
Un sous-ensemble A d'un espace affine E en est un sea ssi il existe un sev A' de la direction E' de E tel que pour tout a fixé dans A, on ait l'équivalence : xA <=> vecteur ax A' !
Dans ce cas, A' est la direction de l'espace affine A!
Tigweg
lol,ok d'accord alors ça je vais le noter en gros sur mon cahier parce que je savais pas,merci Tigweg et à bientot sur l'ile
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