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geometrie affine
Bonjour,
J'essaye de m'entrainer avec des exercices de géometrie mais il y en a 1 qui me pose probleme.
Soit P un plan affine
(O,i,j) un repere
A(0,1), B(-2,1), C(-1,3), D(-2,2)
Il faut montrer qu'il existe une unique bijection f tq
f(0)=B, f(A)=C, f(B)=D
Je sais qu'il faut montrer l'unicité et l'existence. C'est surtout l'existence qui me pose probleme car pour l'unicité, il faut raisonner par l'absurde en supposant que il y a deux bijection f et g et on montre qu'en fait f=g. Mais pour l'existence je ne sais pas comment commencer.
Merci d'avance pour votre aide.
Bonsoir.
Tu dois chercher f sous la forme : f(x,y) = (x',y') avec :
x' = ax + by + c
y' = dx + ey + f
A plus RR.
Merci de m'aider
J'ai trouvé f tq f(x,y)=(1/2x+y-2,1/2x+4y-1)
Mais je ne comprends pas comment cela montre que c'est une bijection affine?
Toute application affine est de ce type. Pour voir si elle est bijective, tu as trois possibilités
1°) étudier l'indépendance des trois points images
2°) étudier l'application linéaire associée
3°) étudier s'il existe une application réciproque en cherchant x et y en fonction de x' et y'.
Je trouve :
x' = (1/2)x + y - 2
y' = (1/2)x + 2y + 1
Méthode n°2. L'application linéaire associée a pour matrice :
Cette matrice étant de rang 2, f est une bijection.
A plus RR.
Merci beaucoup j'ai compris. J'ai un peu de mal à mettre tout en relation, geometrie et algebre, mais je sais que tout est lié.
Pour le calcul, je me suis bien trompé.
A bientot
Bonjour,
Désolé de vous reposez une question, c'est au niveau de l'unicité, je pensais que ca ne me poserait pas de pb et en fait, j'ai un petit soucis.
Je suppose qu'il existe deux bijections affines f et g
On a g(O)=B=f(O)
g(A)=C=f(A)
g(B)=D=f(B)
On calcule et la je suis coincé, mais c'est peut-etre pas comme ca qu'il faut partir.
Merci
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