Bonjour,

Tu pourrais comparer à la transformation du plan complexe définie par z'=z(1-i)

Bonsoir concernant ta question pour calculer le déterminant tu as -2 j'espère mais tu dois diviser par i+j en prenant et puis le déterminant va donner -1 et vu que la matrice est symétrique c'est-à-dire egale à transposée c'est une symétrie ou un antideplacement et ensuite tu cherches l'ensemble des invariants ainsi de suite.

Je ne comprends pas pourquoi on a le droit de modifier la matrice pour avoir un déterminant de -1 (parce que oui je trouve aussi -2) . Je ne comprends pas pourquoi on aurait le droit de diviser par i+j, est ce que ça ne serait pas une nouvelle matrice et non pas la matrice sur laquelle on veut travailler?

Oublie mon message, je n'ai pas raisonné sur la bonne matrice .

Bonsoir,
dans un autre genre tu peux calculer  .
Et en déduire que la partie vectorielle de f est la composée d'une symétrie et d'une homothétie.

La nature géométrie c'est symétrie vectorielle c'est facile de monterer qu'elle est orthogonale il suffit de montrer que elle transforme une base orthonormée en une base orthonormée ou elle conserve la norme ou le produit scalaire.  Pour Les éléments krstq tu prends un point M(x,y,)€ x/f(M)=M ssi x+y=x et x-y=y en suite fais la somme (1)+(2) tu vas trouver 2x=x+y cava donner x=y vu la dimension de l'espace u=(x,x) car x=y et donc u=(1,1) c'est l'ensemble des invariants de vecteur de f puis tu cherches inv(f).

Par contre ça marche me semble-t-il.

salut

un simple calcul mental montre que le point A(1, 1) est le seul point fixe...

dans le repère (A, i, j)

alors f s'écrit :

x' = x + y          x' - 1 = x - 1 + y - 1
y' = x - y           y' - 1 = x - 1 - (y - 1)

x' + y' = 2x
x' - y' = 2y

donc en posant u = i + j et v = i - j et ne normant u et v ...

Bonjour à tous.

est une similitude indirecte de rapport .
On sait alors que admet un unique point fixe ; elle est alors la composée commutative d'une symétrie orthogonale par rapport à une droite contenant et de l'homothétie de centre de rapport .

Manifestement, l'étude des similitudes du plan (directes ou indirectes) ne figure pas dans le cours de Matheomath . Il s'agit donc pour lui de découvrir ce que j'ai décrit ci-dessus.

Je pense qu'on peut le faire en étudiant la partie vectorielle de , que je vais noter . On remarque alors que  .
est une isométrie que

Mon message précédent est parti trop tôt (j'ai appuyé sur le bouton "poster" sans m'en rendre compte). Je continue.
est une isométrie que Matheomath saura identifier ... On en déduit que est la composée d'une homothétie de rapport et d'une symétrie orthogonale.
Après, on passe à ...

Merci beaucoup pour toutes vos réponses, je vais essayer de proposer une rédaction pour mon exercice suite à vos explications (effectivement je n'ai pas certains points dans mon cours c'est pour cela que je ne comprends pas tout):

a) Pour cette question je ne reviens pas dessus j'ai déjà la matrice.

b) Pour déduire la nature de f , j'ai étudié la matrice de vect(f)²  ce qui me donne 2*Id, j'en déduis donc que c'est la composition entre une homothétie et d'une symétrie.
Ensuite j'ai écrit M(f)=
donc je trouve que le rapport de la similitude est . Par contre je ne sais pas comment utiliser la matrice pour déterminer les caractéristiques de la droite de symétrie.

c) Cherchons les éléments caractéristiques de f, d'après ce qu'à dit Perroquet,

.

donc on calcul les coordonnées de A puisque c'est le seul point fixe en résolvant :

, on trouve ainsi que x=y et y=1 donc x=1, ainsi les coordonnées du point fixe A sont A(1,1).
Par contre je suis pas sur mais pour déterminer la droite D, je prends A (puisque D passe par A et un autre point de f et je détermine l'équation de la droite de symétrie? si c'est le cas je trouve que la droite de symétrie c'est y=1 mais je n'en suis pas sur ..

d) Pour cette question je ne vois pas trop quoi faire comme je l'avais dit mais je pense qu'il faut calculer f(D) et je remplace x par (x+y-1) et y par (x-y+1)

e) Pour cette question je ne vois pas du tout ce que je pourrais faire, j'ai pensé à utiliser les résultats de la question c en utilisant le rapport tel que f(C)=C(f(0),) mais je sais pas si j'ai le droit de le faire.

Encore une fois merci beaucoup pour toutes vos explications!

Bonjour !
Bien comprendre que si désigne les coordonnées de et les coordonnées de ona .

Si on a un ensemble défini par il faut trouver dont l'équation sera une relation entre les coordonnées de quand .

Le raisonnement est donc simple : . Il n'est donc pas question de "remplacer" quoi que ce soit mais de "raisonner".

@Matheomath

1) Tu as correctement déterminé la nature de (application linéaire associée à ). Tu as très bien exploité l'idée de verdurin et cela donne une solution bien argumentée.
Il te manque l'axe de la symétrie orthogonale . Pour cela, il suffit de chercher l'ensemble des vecteurs invariants, cela donne une équation pas très agréable avec des (pas deux équations, elles sont identiques en fait). Il y a aussi une propriété qui donnerait une solution plus élégante, mais je ne pense pas que cette propriété soit dans ton cours. Alors, restons sur l'équation.

2) Tu ne peux pas utiliser les propriétés des similitudes indirectes que j'ai données puisqu'elles ne sont pas dans ton cours. Il faut une méthode "naturelle" comme dans le point 1.
Voici ce que je suggère.
Il est facile de montrer que admet un point fixe , tu l'as fait d'ailleurs. Ensuite, on écrit que:

On en déduit alors que est la composée:
- de l'homothétie de centre , de rapport
- et de la symétrie orthogonale par rapport à la droite passant par , de direction la droite vectorielle axe de la symétrie orthogonale précédemment déterminée.

3) On en vient maintenant aux questions d) et e).
On peut faire comme luzak l'a suggéré, c'est la méthode générale. Mais c'est calculatoire et "on ne voit pas où on va arriver", même si on y arrive très bien ...
Mais ce serait tellement dommage de se priver de ce qu'on a trouvé avant.
L'image d'une droite par les applications définies précédemment est une droite. Il suffit de prendre deux points et de la droite , est la droite .
Pour le cercle, c'est exactement la même idée. est le cercle de centre et de rayon .