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Geometrie Affine-Applications affines
Bonjour et merci de me lire.
En fait j'ai un problème en géométrie affine.
L'énoncé du problème est le suivant et j'associerai chaque fois mes recherches:
"1-Une application affine peut elle avoir exactement deux points fixes distincts?"
Pour répondre a cette question, j'ai suppose qu'une telle application existe et je l'ai nomme f d'application linéaire associée g. Soit E un espace affine d'espace vectoriel associe F
Soient deux points distincts A et B fixes par f, On peut écrire f(A)=A et f(B)=B
De plus soit t un vecteur de F:
f(t+ A)=g(t)+f(A)=g(t)+A (*)
A et B étant distincts, on peut trouver un vecteur u dans F tel que A=u+ B. De ce fait on peut écrire que (*)=>f(t+ u+ B)=g(t)+A
i.e g(t+ u)+f(B)=g(t)+A soit g(t)+g(u)+B=g(t)+A car g est linéaire et B fixe par f. On peut alors identifier g(u)+B=A soit encore g(AB)=AB ou AB est un vecteur. Mon problème est que a ce niveau je ne sais pas comment conclure sur le fait que f existe ou non .Merci de m'aider
"2-Donner un exemple d'application affine sans point fixe, qui n'est pas une translation? A ce niveau j'ai propose la symétrie glissée je sais pas trop si c'est un bon exemple
3-Montrer a l'aide de la règle du parallélogramme que les seules applications affines dont la partie linéaire est l'identité sont les translations.
D'après la règle du parallélogramme ,dans un parallélogramme ABCD, AB+AC=AD, avec AB,AC et AD des vecteurs. Mais comment exploiter ca ?J'ai juste besoin d'indications parce que je ne sais pas comment j'utiliserai cette règle.
Merci .
salut
si A = u + B alors = BA plutôt
g est linéaire donc g(ku) = kg(u) = ku
donc la droite vectorielle <u> est invariante donc la droite (AB) est constituée de points fixes (à montrer)
pour 3/ applique le même raisonnement :
B = A + u
C = A + v
D = A + u + v
alors si g est l'identité :
f(B) = f(A) + g(u) = f(A) + u
f(C) = f(A) + g(v) = f(A) + v
f(D) = f(A) + g(u + v) = f(A) + u + v
donc ...
salut
si A = u + B alors = BA plutôt
Je ne comprends pas très bien .Ce n'est pas plutôt lorsque A=B+ u que u=BA?
Je pense aussi que mon AB=u est faux mais je ne comprends pas pourquoi c'est BA=u...
donc la droite vectorielle <u> est invariante donc la droite (AB) est constituée de points fixes (à montrer)
Bon je devais montrer qu'il y'a exactement deux points fixes. Pour commencer quand j'ai écrit g(BA)=BA ca implique forcement que g est l'identité? Ca marchera forcement pour tous les points?
Svp pour le 2/ la symétrie glissée peut être une bonne réponse ?
3/
B = A + u
C = A + v
D = A + u + v
alors si g est l'identité :
f(B) = f(A) + g(u) = f(A) + u
f(C) = f(A) + g(v) = f(A) + v
f(D) = f(A) + g(u + v) = f(A) + u + v
Ainsi f est la translation de vecteur u+ v?
quel est l'intérêt de recopier mon msg ?
si A = B + u alors u = A - B =
Pour commencer quand j'ai écrit g(BA)=BA ca implique forcement que g est l'identité ? ben non !!
Ca marchera forcement pour tous les points ? voir ligne au dessus entre parenthèses !!
3/ ... on en déduit donc que :
f(B) - B = f(A) - A = f(C) - C = f(D) - D
donc ...
revois ton cours ...
mais pur ma part "additionner" un point et un vecteur n'a pas de sens ... hormis la convention suivante :
si M = A + u = u + A alors AM = u (en vecteur) ...
En fait dans mon cours ou du moins durant la séance le professeur avait vraiment insisté sur le fait que lorsqu'on additionne un vecteur et un point ca donne un point et de ce fait ,le fait de commuter cette addition changerait le point résultant.
Donc au final je suis un peu embrouillée vu que vous m'expliquez un truc mais mon professeur avait dit autre chose.
Bonjour,
@Maesan,
Pour citer une partie d'un message, on peut utiliser les ''(guillemets) sous la zone de saisie.
On peut répondre à 1) sans utiliser la notation "M+u".
As-tu compris que la réponse est non ?
Que dire de l'image du milieu J de [AB] ?
Bonjour désolée pour mon absence
Comment le faire sans utiliser M+u s'il vous plaît 😅
De plus pensez vous que M+u=u+M ?J'ai eu cette discussion avec monsieur Carpediem dernièrement
Oui madame J'ai compris que la réponse est non
C'est bon j'ai pu le faire !J'ai utilisé la définition d'application affine qui dit que f(M)f(N) en vecteurs est égal à g(MN) MN étant un vecteur et g la partie linéaire de f
En fait avec la définition j'ai pu montrer que g(u)=u pour tout u=AB
Et ainsi en choisissant n'importe quel point M sur AB, en reprenant la définition et sachant que g(u)=u, on arrive au fait que chaque fois f(M)=M et ainsi toute la droite AB est invariante
certes la droite est invariante mais ce n'est pas suffisant !!
l'important c'est que tous les points de cette droite invariante sont fixes !!
Comment le faire sans utiliser M+u s'il vous plaît
Que dire de l'image du milieu J de [AB] ?
Comment le faire sans utiliser M+u s'il vous plaît
Que dire de l'image du milieu J de [AB] ?
J'ai pu le faire j'ai dit
Merci
certes la droite est invariante mais ce n'est pas suffisant !!
l'important c'est que tous les points de cette droite invariante sont fixes !!
J'ai clairement expliqué que j'ai démontré que quelque soit un point M pris sur (AB), f(M)=M.
Comment le faire sans utiliser M+u s'il vous plaît
Que dire de l'image du milieu J de [AB] ?
J'ai pu le faire j'ai dit
Merci
Ce milieu J est invariant
certes la droite est invariante mais ce n'est pas suffisant !!
l'important c'est que tous les points de cette droite invariante sont fixes !!
J'ai clairement expliqué que j'ai démontré que quelque soit un point M pris sur (AB), f(M)=M.
toute translation de vecteur un vecteur directeur d'une droite D laisse cette droite invariante mais aucun point n'est fixe !!
Vous comprenez pas ce que je dis en fait
Soit M un point pris sur (AB) j'ai démontré que pour tout M ,f(M)=M c'est suffisant tout point est fixe!!
Cette droite (AB) est invariante point par point c'est à dire que chaque point de cette droite est fixe
Bonjour,
il n'y a pas besoin de s'énerver Maesan, ici il est question de vocabulaire. Lorsque l'on dit qu'un ensemble E est invariant par une application, disons f, on veut dire par là que f(E) = E, ce qui n'assure aucunement que tout point de E est fixe par f (cf. l'exemple de la translation de carpediem).
Il suffit de dire non pas que ta droite affine (AB) est invariante par ton application affine, mais que tout point de celle-ci est fixe par ton application affine : point. Nul besoin de s'acharner sur les aidants qui sont là pour éviter que l'on te fasse cette remarque de vocabulaire dans une future copie. Ne le prends pas mal, nous sommes là pour t'aider, pas l'inverse.
Bonne journée.
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