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Géometrie affine + barycentre

Posté par
fusionfroide 11-02-08 à 22:57

Salut

Dans un espace affine de dimension n, montrer que les coordonnées barycentriques d'un point M de X dans un repère affine R sont uniques à un facteur multiplicatif près.

Voilà ce que j'ai fait :

Soit R=\{A_0,...,A_n\} repère affine de X

Soit M \in X de coordonnées barycentriques (\lambda_0,...,\lambda_n) dans R

Alors on a en particulier : \Bigsum_{i=0}^n \lambda_i \vec{MA_i}=\vec{0} et \Bigsum_{i=0}^n \lambda_i\neq 0

Considérons (\mu_0,...,\mu_n) comme étant aussi les coordonnées barycentriques de M

Alors \Bigsum_{i=0}^n \mu_i\vec{MA_i}=\vec{0} avec \Bigsum_{i=0}^n \mu_i \neq 0

On cherche une relation entre les \lambda_i et les \mu_i

D'après les propriétés sur les barycentres, on a aussi :

\Bigsum_{i=0}^n \lambda_i \vec{A_0M}=\Bigsum_{i=0}^n \lambda_i\vec{A_0A_i}

Voilà et on a de même avec les \mu_i

Finalement on a en (l)égalisant :

\Bigsum_{i=0}^n \lambda_i\vec{A_0A_i}=\frac{\Bigsum_{i=0}^n \lambda_i}{\Bigsum_{i=0}^n \mu_i}\Bigsum_{i=0}^n \mu_i\vec{A_0A_i}

Bah j'y suis presque apparament mais est-ce que ça suffit pour dire que les \lambda_i et les \mu_i sont proportionnels ?


Merci

Posté par
Mariette Correcteurre : Géometrie affine + barycentre 12-02-08 à 07:02

Bonjour,

j'ai pas tout lu, mais ta dernière égalité est une égalité entre deux décompositions dans une même base, donc tu as nécessairement :
\lambda_i=\Lambda\times\mu_i

en donnant un nom à ton quotient de somme (il est bien trop tôt pour les recopier )

et donc tu as la proportionnalité

Posté par
soucoure : Géometrie affine + barycentre 12-02-08 à 11:04

Tu peux peut être zieuter un coup d'oeil sur la fonction vectorielle de Leibniz.

Posté par
fusionfroidere : Géometrie affine + barycentre 12-02-08 à 15:29

Merci Mariette

salut soucou >> oui c'est un peu du même type ^^


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