Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Niveau Prepa (autre)
Partager :

Géométrie affine: Barycentres

Posté par
barka54
23-04-22 à 10:00

Bonjour à tous,
J'ai besoin d'aide sur une première partie d'un exercice de géométrie affine sur les barycentres.
Merci d'avance.
L'énoncé est le suivant:

Citation :

On considère un espace affine de dimension 3 muni d'un repère R=(O, i,j,k).
1. Soit ABCD un tétraèdre. E est le barycentre de {(A,-1),(B,2),(C,-3)}; F est le barycentre de {(E,1),(D,1)}; G est le barycentre de {(A,1),(D,2)}; H est le barycentre de {(B,2),(C,-3)}.
a. Prouver que F,G,H sont alignés.
b. Prouver que F,G,B et C sont coplanaires.


J'ai commencé par placer les points E,F,G et H en utilisant les définitions des barycentres données:
\vec{AG}=\frac{2}{3}\vec{AD}
\vec{EF}=\frac{1}{2}\vec{ED}
\vec{BH}=3\vec{BC}
\vec{AE}=\frac{1}{2}\vec{AH}
.
Pour la question a) j'aimerais montrer que les vecteurs \vec{GF} et \vec{GH} sont colinéaires en trouvant un réel k tel que :
\vec{GH}=\vec{GF}

Mais je n'y arrive pas...
J'ai commencé par écrire :
\vec{GH}=\vec{GF}+\vec{FH} , j'ai ensuite essayé «d'injecter» des points tels que A, D, C pour pouvoir utiliser les relations vectorielles precédentes mais je n'arrive au but...
Auriez-vous une piste plus courte?

Posté par
PLSVU
re : Géométrie affine: Barycentres 23-04-22 à 11:14

Bonjour

Citation :
Théorème du barycentre partiel (ou d'associativité) Règle d'associativité : On ne change pas le barycentre de trois points pondérés en remplaçant deux d'entre eux par leur barycentre partiel (s'il existe), affecté de la somme des deux coefficients.

Posté par
Razes
re : Géométrie affine: Barycentres 23-04-22 à 19:45

Bonjour,

En utilisant la définition du barycentre, commence par écrire les quatre équations obtenues. et une a une exprime:

\vec{OE} en fonction de \vec{OA}, \vec{OB}, \vec{OC}
\vec{OF} en fonction de  \vec{OE}\vec{OD} puis en \vec{OA}, \vec{OB}, \vec{OC}, \vec{OD}   afin de faire disparaitre E
\vec{OG}  en fonction de  \vec{OA},\vec{OD}
\vec{OH}  en fonction de  \vec{OB},\vec{OC}

Puis calcule en utilisant la relation de Chasles les expressions \vec{FG}=\vec{OG}-\vec{OF} et \vec{FH}=\vec{OH}-\vec{OF} en fonction des points A,B,C,D seulement.

Et normalement tu dois pouvoir trouver une relation entre les deux vecteurs.

Posté par
lafol Moderateur
re : Géométrie affine: Barycentres 23-04-22 à 23:50

Bonsoir
que c'est lourd !

F = barycentre de (E,1), (D,1)
= barycentre de (E,-2),(D,-2) (homogénéité)
= barycentre de (A,-1),(B,2),(C-3),(D,-2) (associativité)
=barycentre de (B,2),(C-3),(A,-1),(D,-2) (l'ordre des points pondérés ne compte pas)
= barycentre de (H,-1),(G,-3) (associativité, deux fois)

et donc F est aligné avec G et H

Posté par
lafol Moderateur
re : Géométrie affine: Barycentres 23-04-22 à 23:52

pour la deuxième question intéresse toi au triangle HBG

Posté par
barka54
re : Géométrie affine: Barycentres 01-05-22 à 15:20

Bonsoir,
Merci beaucoup pour vos interventions   ..



Vous devez être membre accéder à ce service...

Pas encore inscrit ?

1 compte par personne, multi-compte interdit !

Ou identifiez-vous :


Rester sur la page

Inscription gratuite

Fiches en rapport

parmi 1510 fiches de maths

Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !