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Géométrie affine : la translation
Bonsoir à tous,
J'ai lu dans mon cours de maths de sup qu'une isométrie affine positive est définie comme étant une isométrie affine dont la partie linéaire a un déterminant strictement positif (en fait égal à 1 car la partie linéaire est dans ce cas une isométrie vectorielle).
La définition se conclut par la phrase suivante :
"Donc une isométrie affine positive conserve l'orientation"
Autrement dit, mon cours affirme qu'une isométrie affine a un déterminant positif.
Mais plaçons nous dans R^3. (ou R^2, ça marche aussi bien).
Et considérons la translation de vecteur (-1,-1)
Alors un calcul de déterminant rapide montre que la base canonique, orthonormée directe, est transformée en une base indirecte ! Ce qui se voit bien sur un dessin.
Mon cours se serait-il trompé ?
Merci d'avance.
Bonsoir,
Ce n'est pas clair ton histoire.
Une translation est une transformation affine dont la partie linéaire est l'identité, tout simplement. Le déterminant de cette partie linéaire n'est pas négatif non ?
Quel déterminant as-tu calculé ?
J'ai calculé, dans le cas de R^2, le déterminant det(t) où j'appelle t la translation de vecteur (-1,-1)
On trouve det(t)=-1
Pourtant, d'après mon cours, cette translation devrait conserver l'orientation, puisque sa partie linéaire est l'identité, donc le déterminant vaut 1.
J'ai tout simplement calculer det(t(e1),t(e2)) dans la base B=(e1,e2), où e1=(1,0) et e2=(0,1)
donc det(t)=detB((0,-1),(-1,0))
Et si je suis pas gâteux (ce qui serait triste à mon âge), ça fait bien -1.
Bonsoir,
En principe la matrice de la translation de vecteur est
.
Il me semble que le déterminant est égal à 1 et non à -1.
Je me demande si la source de mon problème ne vient pas du fait que je calcule un déterminant de translation alors que la translation est une application affine et non pas vectorielle, ce qui fausse tout...
Serait-ce là l'intérêt de la matrice de translation ? D'avoir quand même une interprétation matricielle de la translation alors qu'elle n'est pas vectorielle ? Parce que je n'avais jamais rencontré de telle matrice avant.
A moins que je ne raconte n'importe quoi 
Il faut dire que le programme de prépa est peu généreux en matière de géométrie, donc je suis assez limité...
Il me semble que est une transformation (sic) affine et non vectorielle. Par suite, peut-on donner un sens à
par exemple ?
@Verdurin : Bonsoir. 
Peux-tu expliciter ? J'ai du mal à voir. Ce doit être la journée de travail qui m'a épuisé. 
Thierry
L'idée de la matrice que je t'ai donnée est de travailler dans le plan projectif.
Je crois que ce n'est plus au programme depuis assez longtemps. 
Mais on peut voir les choses comme suit :
On identifie à l'ensemble des vecteurs de
vérifiant
.
Ceci permet de voir les transformations affines de comme des transformations linéaires de
.
De façon générale si f est une transformation affine de de la forme
la matrice associé est
Il est facile de vérifier que ça marche bien en multipliant cette matrice par
Ce genre de notation est utilisée dans certains logiciels de représentation 3D, mais avec des matrices 4
4.
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