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Géométrie-Axiomes de Hilbert

Posté par
mousse42
18-08-21 à 18:34

Bonjour,

Selon Wikipedia , la proposition suivante est un axiome :

Soient deux triangles ABC et A'B'C' tel que AB est congru à A'B' , AC est congru à A'C' , et l'angle BAC est congru à l'angle B'A'C' , alors le triangle ABC est congru au triangle A'B'C' .

Soit la proposition suivante :
Soient deux triangles ABC et A'B'C tels que l'angle CAB est congru à C'A'B' , ABC est congru a A'B'C' et [AB] congru à [A'B'], alors le triangle ABC est congru au triangle A'B'C'.

Pour montrer cette proposition, j'utilise l'axiome donné plus haut :

On a : CAB \equiv  C'A'B', ABC \equiv  A'B'C' et [AB] \equiv [A'B']

Reste à montrer que :  

1)ACB\equiv A'C'B'

2) [BC] \equiv [B'C']

3) [AC] \equiv [A'C']

Pour le 1) , c'est trivial

Pour le 2) On suppose [BC]\not \equiv [C,B'] et soit D\in (C',B') tel que [BC]\equiv [D,B'], l'axiome cité plus haut nous dit que les triangles ABC et A'B'D sont congrus. Par conséquent les angles CAB et DA'B' sont congrus, or l'énoncé nous dit que les angles C'A'B' et CAB sont congrus donc  C'A'B' et DA'B' sont congrus, [...] , contradiction.

Mon problème est que je considère les angles C'A'B' et DA'B' différent comme si c'était évident, et je ne vois pas quel axiome je pourrais utiliser pour justifier rigoureusement que ces deux angles ne sont pas congrus.

Posté par
carpediem
re : Géométrie-Axiomes de Hilbert 18-08-21 à 20:37

salut

que signifie que AB est congru à A'B' ?

Posté par
mousse42
re : Géométrie-Axiomes de Hilbert 18-08-21 à 21:03

Salut carpediem

Le segment [A,B] est congru à [A',B'], si AB = A'B' (même longueur)



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