Niveau Maths sup

geometrie complexe

Posté par vespissimo (invité) 12-10-05 à 16:38

Bonjour, un petit exercice me pose probleme,

On se place dans l'espace E rapporté au repere (o;i;j;k) ortonormé et direct.
Soit la droite D : x=z+1=y-1. Detreminez les plans contenant D et faisant un angle de 45° avec le plan P1: 2x-y+3z-1=0. Determiner les intersections de ces plans avec le plan P2: z=0.

Merci de votre aide

Posté par re : geometrie complexe 14-10-05 à 07:24

1^re remarque - pour la droite D :
$\left\{\begin{array}{l} y=x+1 \\ z=x-1 \end{array}\right.$
D'où $(x,y,z)\subset D \Rightarrow (x,y,z)=(x,x+1,x-1)=(0,1,-1)+x(1,1,1)$
$\vec v=(1,1,1)$ est un vecteur directeur de D

2^e remarque - pour le plan P₁ :
$\vec {n_{1}}=(2,-1,3)$ est un vecteur normal au plan P₁.

Nous allons chercher un plan P de la forme $Ax+By+Cz=D$ .
P est parallèle à D (puisque $D \subset P$ ) donc le produit scalaire d'un vecteur normal à P avec un vecteur directeur de D est nul :
$\vec n \vec v=(A,B,C)(1,1,1)=A+B+C=0$ (1)

$(0,1,-1)\in D \subset P$ donc $B-C=D$ (2)

P et P1 ont un angle de 45° donc :
$\vec n \vec {n_{1}}= \parallel\vec n \parallel\parallel\vec {n_{1}} \parallel cos(\vec n, \vec {n_{1}})$
Rem. : Le cosinus peut être négatif mais de toute façon on élèvera la relation au carré. Sa valeur absolue vaut $\frac{1}{\sqrt{2}}$

$\big[(A,B,C)(2,-1,3)\big]^{2}=\big[ \frac{\sqrt{14}\sqrt{A^{2}+B^{2}+C^{2}}}{\sqrt{2}} \big]^{2}$
D'où $(2A-B+3C)^{2}=7(A^{2}+B^{2}+C^{2})$

Pour résoudre ça, on va se servir de (1) en posant, par exemple, $C=-(A+B)$ .

$(A+4B)^{2}=7(A^{2}+B^{2}+(A+B)^{2})$
$A^{2}+8AB+16B^{2}=14A^{2}+14B^{2}+14AB$
$2B^{2}=13A^{2}+6AB$

Arrivé là, on se dit qu'on va faire apparaître deux carrés, regardez bien l'artiste...

$4B^{2}=26A^{2}+12AB$
$4B^{2}-12AB+9A^{2}=26A^{2}+9A^{2}$
$(3A-2B)^{2}=35A^{2}$

Rem. : Au lieu de jongler avec les valeurs absolues, je vais introduire l'opérateur ±. Concrètement, on aura pas forcément les “mêmes” variables mais ça ne changera rien au résultat final, c'est ce qui compte.

$3A-2B=\pm \sqrt{35}A$
$2B=3A \pm \sqrt{35}A$
$B=\frac{3 \pm \sqrt{35}}{2}A = \epsilon A$ (3)
D'où $C=-(\epsilon + 1)A$ (1)
Et $D=B-C=(2 \epsilon + 1)A$ (2)

Maintenant on remplace B, C et D dans l'équation de P et on simplifie par A, ce qui donne :
P : $x+\epsilon y-(\epsilon + 1)z=2 \epsilon + 1$ .

Moralité : on obtient deux plans qui vérifient les conditions de l'énoncé (un pour $\epsilon = \frac{3 + \sqrt{35}}{2}$ et un pour $\epsilon = \frac{3 - \sqrt{35}}{2}$ ).

Posté par re : geometrie complexe 14-10-05 à 07:39

J'ai oublié la dernière question...
$P\cap P2 : \left\{\begin{array}{l} x + \epsilon y=2 \epsilon+1 \\ z=0 \end{array}\right.$ .
Ce sont deux droites.

Posté par vespissimo (invité)re : geometrie complexe 15-10-05 à 18:16

Je vous remercie pour votre réponse très détaillée.

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