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Géométrie : Congruence chez Hilbert
Bonjour,
J'essaye de revoir les bases de la géométrie avec les axiomes de Hilbert. Je comprends bien les axiomes mais je n'arrive pas à saisir comment il peut définir la congruence sans faire appel à a mesure.
Par exemple, si je prends un segment [AB] sur une droite qui, avec ma règle, mesure 2 cm et un segment [A'B'] de 5 cm en décrétant qu'ils sont congruents, j'imagine bien qu'une contradiction va apparaître quelque part, mais où ?
Merci
Bonsoir,
il me semble que l'on va vite avoir un problème avec le premier cas d'égalité des triangles.
Bonjour et merci pour votre réponse.
Probablement mais je ne vois pas où à partir du moment où je ne vois pas comment vérifier la congruence des segements et encore moins celle des angles. L'axiomatique de Hilbert étant solidement basée, je sais bien que c'est moi qui suis "bouché" mais je ne parviens pas à comprendre.
D'un point de vue très pratique : étant donné un segment [AB] sur une droite a et un point A' sur une droite a', comment construire [A'B'] tel qu'il soit congruent à [AB] ? À défaut, [A'B'] étant aussi donné, comment vérifier qu'il est ou non congruent à [AB] ?
D'un point de vue très pratique : étant donné un segment [AB] sur une droite a et un point A' sur une droite a', comment construire [A'B'] tel qu'il soit congruent à [AB] ? À défaut, [A'B'] étant aussi donné, comment vérifier qu'il est ou non congruent à [AB] ?
Les axiomes de Hilbert disent que de chaque côté de A' sur a', il existe un et un seul point B' tel que A'B' = AB. Ce n'est pas un procédé de construction, c'est un axiome. J'ai l'impression que tu ne vois pas bien la nature d'un axiome. Ces axiomes fixent les règles du jeu auxquelles obéit le concept de congruence entre segments.
Bonsoir et merci pour ta réponse.
Si, si, je vois très bien ce qu'est un axiome et je crois bien comprendre ceux-ci. Là où je bloque c'est comment montrer que la notion "intuitive" de la congruence, en géométrie euclidienne, est la seule qui y satisfasse : si je déclare congruents deux segments qui ne le sont pas, quels axiomes ou théorèmes dérivés vais-je violer ?
Je rate sans doute quelque chose d'évident, je n'en doute pas.
si je déclare congruents deux segments qui ne le sont pas,
Que veut dire cette phrase ? Tu emploies congruents dans deux sens différents : selon la définition axiomatique de Hilbert, et selon une structure euclidienne que tu sembles présupposer.
Tu remarqueras d'ailleurs que tu peux avoir deux (en fait, une infinité) structures euclidiennes différentes sur un même plan.
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