Place toi dans C et suppose que ton tri equilatéral est "le" triangle équilatéral, c'est à dire celui de coord -1, exp(i*pi/3), exp(-i*pi/3)
Les distances de M à AB, AC, BC sont données par des porjections orthogonnales, qui ne doievent pas etre trop difficile à calculer. Tu te ramènes à un problème sur les complexes...
Ca t'aide?

Pense à distinguer si M est intérieur au triangle ou non!

ah tu me fait penser que j'ai oublié de préciser que M était interieur ou triangle cependant je ne comprends pas bien ton explication

Je viens de poser les équations...Ca m'a pas l'air gagné...

Ah si M est intérieur ca doit etre plus simple (Cela dit je suis bête c'est trivialement faux si M est extérieur il suffit de faire tendre M vers l'infini)

Je reprends mon explication, tu te places dans le plan complexe quitte à translater et homotetiser tu peux supposer que ton triangle a pour sommets les sommets que je t'ai dit (les racines 3 iéme de l'unité)

Si M est intérieur alors les distances de M à AB, AC, BC, sont les longueurs des projections orthogonnales de M sur chacun de ces vecteurs... Il faut les calculer, et prouver que leur somme est constante.

Est-ce plus clair?

alors je vais exposer tes explications telles que je les aient comprises tu me diras si c'est bien ca en fait il ne faut pas que je donne des coordonnées mais des affixes aux points abc ces affixes étant 1 j et j² et qu'ensuite je calcule les distances sachant que par exemple si h est le projeté de M sur AB alors j'ai d(M,(AB))=MH si c'est bien ça est-ce que prendre ces affixes marche pour tout point M ou alors serions nous en train de créer un cas particulier?

Non on ne crée pas u cas particulier, et je pense que tu as compris mon explication tu vas obtenir une fonction de x et y (z=x+iy est l'affixe de M) qui est égale à la somme des distances que tu cherches.

Il y aura deux options: soit tu pourras prouver par des calculs élémentaires que cette fonction est constante (ce qui ne me semble pas gagné vu la tête des equations)

Soit on se placera dans un contexte de calcul différentiel pour prouver que cette fonction est constante (calcul de dérivées partielles...)

le calcul de dérivées partielles est une notion que je n'ai pas encore étudiée en cours donc je ne pense pas que ça soit cela je vais tout de même essayer je te remercie puis-je te demander de l'aide pour un autre exercice de ce dm si cela ne te dérange pas?

Oui bien sur, mais tu devrais créer un autre post, pour etre conforme à la charte du forum...

ok je vais le faire merci

Oulah, je suis bête je viens de trouver une démonstration ultra simple...

Si j'appelle h1, h2, h3 les 3 longueurs de tes projections du point M sur AB, AC, BC.
Alors l'aire des triangles ABM, ACM, BCM, s'écrivent AB*h1/2, AC*h2/2, BC*h3/2, comme AB=AC=BC=L, ces aires s'écrivent 1/2*Lhi (i=1,2,3)
Or la somme de ces trois aires est égale à l'aire totale du triangle!
Donc 1/2*L(h1+h2+h3) est une constante donc ta somme est constante...

ah bon je t'écoute

C'est beaucoup plus simple et ca a un corrolaire intéréessant c'est que la méga fonction qu'on allait définir est constante, ce qui ne me semble pas si évident à prouver que ça...
Cela dit on allait y arriver par ma première méthode mais ça aurait été inélégant au possible

mais cela ne marche t-il pas que si M est l'orthocentre?

Non pourquoi faut il que M soit l'orthocentre... fais un dessin ce sera très clair!

parce que selon ton raisonnement alors M se trouve sur des hauteurs

Non il est pas sur des hauteus il est sur les porjection orthogonnales de M sur chacun des cotés mais il n'y a aucune raison que ces projections passent par les sommets du triangles...ce ne sont pas des hauteurs pour le grand triangle.

Par contre ce sont des hauteurs pour les petits traingles AMC, AMB, BMC, dont la somme des aires vaut l'aire de ABC

je vois merci beaucoup j'ai fait mon deuxième post si tu as le temps de regarder tu ne sais pas à quel point tu viens de m'aider merci