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Niveau Maths sup
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geometrie dans lespace

Posté par matoblige (invité) 03-12-06 à 17:40

bonjour, jai qq pb avec la premiere question dun DM (oui, et cest que la premiere...) jai deux droites D1 et D2 dirigées par 2 vecteurs u1 et u2 (les droites sont non paralleles) et une 3eme droite delta qui est la perpendiculaire commune a D1 et D2 les coupe en H1 et H2 et je dois montrer que la distance de D1 a D2 est egale a H1H2. jai essayé de passer par la distance dun point a une droite, mais je vois pas trop comment aboutir a ce quon veut montrer.
Si vous avez  une ptite idée sur la question, merci davance pr votre aide
Bonne soirée

Posté par
Matouille2b
re : geometrie dans lespace 03-12-06 à 18:31

Salut !!!

Dans un premier temps, il faudrait que tu montres qu'il existe une unique droite \Delta orthogonale et sécante à D_1 et D_2

On note :
D_1 = A + vect(u_1)
D_2 = A' + vect(u_2)

Puisque u_1 et u_2 ne sont pas colinéaires, (u_1,u_2,u_1 \wedge u_2) est une base de \mathbb{R}^3

Donc \exists ! (x,y,z) \in \mathbb{R}^3, AA' = x u_1 + y u_2 + z u_1 \wedge u_2
Donc A' - y u_2 = A - x u_1 + z u_1 \wedge u_2
Donc J = I + z u_1 \wedge u_2
avec J \in D_2 et I \in D_1

(IJ) a pour vecteur directeur u_1 \wedge u_2 donc est orthogonale à D_1 et D_2
Quand à l'unicité de (IJ), elle provient du fait que (u_1,u_2,u_1 \wedge u_2) est une base

Posté par
Matouille2b
re : geometrie dans lespace 03-12-06 à 18:40

Ensuite il faudrait prouver que IJ est la plus petite distance de D_1 à D_2

Soit M \in D_1 et N \in D_2
||MN||^2 = ||MI+IJ+JN||^2 = ||MI+JN||^2+ ||IJ||^2 (d'apres Pythagore)
Donc MN est minimale lorsque MI+JN = O
Or \exists (k,k') tel que MI = k u_1 et JN = k' u_2
Donc k u_1 + k' u_2 = 0
Donc k=k'=0 (u_1,u_2) est libre

Donc M=I et N=J et d(D_1,D_2) = IJ



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