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géométrie du triangle
bonjour,
voici mon problème : soient trois complexes a, b et c de module 1 tel que a + b + c = 1 (*).
Montrer qu'au moins un de ces trois nombres est égal à 1.
On suppose a, b, c distincts deux à deux
j'ai essayé de le montrer géométriquement :
C est rapporté à un repère orthonormé direct (0, e1, e2)
Soient A, B, C d'affixes respectives a, b et c dans ce repère. Soient G l'isobarycentre de A, B et C, et H l'orthocentre du triangle ABC.
La relation (*) nous dit que G est d'affixe 1/3
Or O est le centre du cercle circonscrit au triangle ABC (cercle de centre O et de rayon 1). La relation d'Euler : assur que H est situé sur ce cercle.
Si l'orthocentre est situé sur le cercle circonscrit alors le triangle est rectangle.d'où le résultat.
Mais je ne me souviens plus de la démonstration de ce dernier résultat. Quelqu'un peut m'aider ?
Quelqu'un a-t-il fait ce problème d'une autre méthode (analytique) ?
merci...
Bonsoir
Mais je ne me souviens plus de la démonstration de ce dernier résultat.
De quel résultat exactement?
de ce résultat :
Si l'orthocentre est situé sur le cercle circonscrit du triangle alors ce triangle est rectangle
L'orthocentre H est situé sur le cercle circonscrit à ABC, et sur la perpendiculaire à BC passant par A.
Il n'y a que deux points candidats: A, et A' qui est "de l'autre côté". Reste plus qu'a prouver que A' ne convient pas...
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