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geometrie euclidienne
on designe par E l'espace vectoriel sur R des fonctions reele continues sur [a,b]. on considere l'application f de E2 dans R defini par
f(x,y) = 
x(t)y(t)dt sur [a,b]
on demande de demontrer que d(x,y) = ||x-y|| = (f(x-y, x-y))1/2 est une distance sur E.
j'ai deja montre que d(x,y) = 0 
x = y et que d(x,y) = d(y,x) et je n'arrive pas a prouver l'inegalite triangulaire c'est a dire d(x, z) 
d(x,y) + d(y, z)
j'ai tenté d'etudier le signe de :
d(x, z)2 -d(x, y)2 - d(y,z)2 mais j'y arrive pas
merci de m'aider.
Il suffit de montrer que N : x 
(f(x,x))1/2 vérifie " 
(x,y) 
E² , N(x + y) N(x) + N(y) .
Pour ça , x E et y E\{0} étant donnés , tu peux cuisiner l'application t N(x +t y)² qui est polynomiale de degré 2 .
j'ai encore un petit probleme comment tu fait pour savoir que lapplication g : tN(x+ty)2 est polynomiale ?? je n'arrive pas aussi a etablir une relation pour en deduire l'inegalite que verifie N
N(x+ty)² = f(x + ty , x + ty) = f(x,x) + 2f(x,y)t + f(y,y)t²
Si x et y ne sont pas nulles le polynôme f(y,y)T² + 2f(x,y)T + f(x,x) n'a pas de racine réelle .
Donc son discriminant est ...?
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