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Géométrie euclidienne pas évidente
Bonsoir,
J'ai trouvé une méthode de résolution pour le problème qui suit, mais je me suis rendue compte que j'avais présupposée une donnée, et du coup je ne vois pas comment faire:bide:
"Dans le plan affine euclidien, soit un triangle ABC dont tous les angles sont aigus. Pour tous les points M de l'intervalle ]B,C[, N de l'intervalle ]C,A[ et P de l'intervalle ]A,B[, on note lamba(M,N,P) le périmètre du triangle MNP.
Voici la fameuse question : Montrer que : M(indice1)M(indice2) = 2 AM sin(ABC) (il manque le "petit chapeau").
Une piste serait la bienvenue, merci beaucoup
Bonjour,
Triangle orthique ?
http://webpublic.ac-dijon.fr/pedago/maths/experiences/sequences/fagnano/fagnano.htm
Cela peut apparemment servir de base à des activités en Troisième.
Un énoncé complet serait bienvenu...
Nicolas
Rebonjour,
Merci pour vos réponses.
M(indice 1) c'est en fait M avec le chiffre 1 en indice, mais je ne sais pas le transcrire avec un clavier d'ordi... c'est ce que je voulais dire.
Nicolas, ton lien ne s'affiche pas...
Ne t'énerve pas Nicolas, ne désespère pas...Calia est tellement dans son problème qu'elle ne s'en est pas aperçu!
Bonjour!
je vois que M n'est pas défini 
et pourtant je vous assure que c'est exactement l'énoncé (complet) et mot pour mot : je dois me débrouiller avec ça!
je vais suivre la piste du triangle orthique. En fixant un point M quelconque sur l'intervalle ]B,C[ ça devrait être bon, non?
merci bien
M est bien défini : c'est un point quelconque de ]BC[.
La question est : qui sont les M1 et M2 dont tu parles ?
Wahou....... ce que je suis endormie!! vraiment désolé!
M_1 est le symétrique orthogonal de M par rapport à la droite (AB)et M_2 est le symétrique de M par rapport à (CA).
sorry...
Es-tu sûre que ce n'est pas avec le sinus de l'angle a au point A ??
L'énoncé est disymétrique, je pense que c'est plutôt ça, non?
Une piste: Introduis N1 et N2, points d'intersection de MM1 avec AB et de MM2 avec AC puis remarque que M1M2 = 2N1N2.
Après peut-être peut-on s'intéresser à des produits scalaires comme et
et essayer d'utiliser les angles droits, Chasles,
le fait que l'angle a pour mesure
, et peut-être également la relation
Bonjour,
Soit tel que :
1. Calculons :
2. Calculons ,
puis
D'après la formule donnant l'aire d'un triangle :
Or la droite (AM) sépare le triangle ABC en deux triangles dont les aires sont proportionnelles à et
. C'est une propriété simple, de niveau collège, mais pas souvent citée. Voir par exemple ce fil, mon message de 17/10/2006 à 17:33. Donc
et :
Or , donc :
De même :
Par conséquent, en considérant le triangle :
Or, en considérant la somme des angles du quadrilatère (où
et
sont les projetés orthogonaux de M sur (AB) et (AC)), on sait que
. Donc :
Utilisons maintenant les expressions de et
trouvées ci-dessus :
Sauf erreur.
Nicolas
Bonjour et bravo Nicolas, superbe démonstration! 
C'est magnifique la géométrie, vraiment!
Je n'ai pas eu le temps de fouiller les pistes que j'avais indiquées, si je trouve une autre solution, je reposterai!
Bonne soirée à toi!
Tigweg 
Rebonjour, je pense avoir trouvé une solution élémentaire à ce problème !!!
La voici :
En reprenant la figure et les notations de Nicolas, il faut prouver que
.
Ne conservons de la figure que le quadrilatère MH1AH2, qui possède des angles droits en H1 et H2, et d'angle a au sommet A.
Ce quadrilatère est donc inscriptible dans un cercle C de diamètre AM = 2R, qui est aussi le cercle circonscrit au triangle AH1H2.
On a donc la relation métrique suivante:
, d'où, directement:
et
.
Je sentais bien qu'on pouvait travailler directement avec les points H1 et H2
pour se débarrasser du facteur 2!
C'est vraiment chouette la géométrie, j'adore ta démonstration Nico, et nous avons exploré des chemins radicalement opposés!
Tigweg
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