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Géométrie plane : ligne de niveau
Bonjour,
Soit un vecteur unitaire, et un point A. Déterminer les lignes de niveau de la fonction
Qu'est ce qu'une ligne de niveau ?
Au passage, pourquoi [ tex]4$M\rightarrow \det(\vec{u},\vec{Am})[ /tex] donne alors que [ tex]4$M\rightarrow det(\vec{u},\vec{Am})[ /tex] donne
?
Merci 
Skops 
Bien ça dépend ici à a faire un exo 
Non mais par exemple si t'as une surface z=f(x,y), les lignes de niveaux sont les sections par des plans horizontaux, c'est pas inintéressant
Je sais pas trop comment articuler ca
Si AM est colinéaire à u, on a le déterminant nul donc il y a une ligne de niveau ?
Skops
Les coordonnées de u dans la base canonique sont fixées non vu que ton vecteur bouge pas, comme il est unitaire u=(cos(a),sin(a)) pour un certain a.
Oui la droite de vecteur directeur u qui passe par A constitue la ligne de niveau associée à la valeur 0.
Comment cela la seule, c'est la ligne de niveau pour k=0, maintenant reste les autres cas à traiter.
Tu veux dire l'expression du déterminant avec les normes et l'angle orienté?
Je pense qu'il y a plusieurs façons de faire, j'utiliserai la formule avec le sinus pour trouver un point M de la ligne de niveau ensuite tu peux voir que tous les points M+u sont encore dedans par linéarité.
Mais une fois que j'ai trouvé ma ligne de niveau avec k=0, comment je peux trouver une autre ligne de niveau ?
Skops
Bien il faut le faire pour k non nul maintenant, si tu as M tel que det(AM,u)=k alors si M'=M+au tu auras det(AM',u)=det(AM,u)+det(au,u)=k.
Donc tu auras une autre droite parallèle à ta ligne de niveau pour k=0.
En utilisant l'expression du déterminant en coordonnées en plaçant l'origine en A ça se voit également.
J'avais oublié ce truc pour le produit vectoriel ^^
Donc non j'ai pas réussi
Donc pour k nul c'est fait.
Pourquoi M'=M+au ?
Skops
En fait je prend M qui vérifie l'égalité et je montre que tous les points de la droite passant par M de vecteur directeur u la vérifient encore.
Ensuite si tu prends un point hors de la droite il faut montrer que l'égalité n'est plus vérifiée.
Ok
- Comment as tu pensé à inserer le point M' tel que M'=M+au ?
- Quel point en dehors de la droite ?
Skops
Bien si tu as un point M qui vérifie det(AM,u)=k, on remarque qu'en rajoutant un vecteur colinéaire à u, on ne change pas la valeur du déterminant car det(u,u)=0 donc on a toute une droite parallèle à u.
Après il faut vérifier qu'il n'y a pas d'autre point vérifiant det(AM,u)=k.
Déja mon point M vérifiant au début je l'ai choisi tel que AM soit orthogonal à u, on a alors det(AM,u)=||AM|| et donc ce M existe il faut le choisir à distance k de la droite engendrée par u et passant par A.
En coordonnées ça va peut être plus vite dans le repère d'origine A, si M=(x y) et u=(cos(a),sin(a)) alors det(AM,u)=ycos(a)-xsin(a) et donc xsin(a)-ycos(a)=k ssi y=sin(a)/cos(a)x-k et donc c'est une droite de vecteur directeur u.
Petite erreur dans l'équation finale: y=sin(a)/cos(a) x-k/cos(a) (je trouvais que ça clochait quand AM était orthogonal à u, AM n'était pas de norme k).
D'accord
Si j'ai bien compris, on prend M'' un point hors de la droite passant par M et de vecteur directeur u et on voit que Det(u;AM) dépend de la position de M donc n'est pas constant
C'est ca ?
Skops
On a nôtre droite de vecteur directeur u passant par M et vérifiant pour tout M' sur cette droite det(AM',u)=k.
Prenons M" en dehors de cette droite tu peux écrire AM"=AM'+M'M" et utiliser la linéarité du déterminant en constatant que det(M'M",u) est non nul car M'M" est non colinéaire à u 
Bien il faut expliciter le "on voit"
Il n'est pas constant certes mais il faut dire qu'il ne prend jamais la valeur k en dehors de la droite.
Mais si on le place à distance k de A sur la droite perpendiculaire à la droite passant par A et de vecteur directeur u, le déterminant vaut k non ?
Skops
Oui mais on est sur la ligne de niveau on est au point M que j'ai choisi là.
Justement il faut montrer qu'en dehors de cette droite le déterminant ne vaut plus k.
Ok j'ai écrit la réponse plus haut à 0h26
Bonne nuit( moi aussi je vais pas tarder je retourne à Rennes demain matin ).
Bonjour
Au passage, pourquoi [ tex]4$M\rightarrow \det(\vec{u},\vec{Am})[ /tex] donne alors que [ tex]4$M\rightarrow det(\vec{u},\vec{Am})[ /tex] donne ?
Parce que, me semble-t-il, |.| est une symbolisation (ou écriture) du déterminant . Je me suis déja fait avoir avec cette écriture du déterminant, que j'ai prise pour une valeur absolue.
Donc si tu écris det, c'est du texte
Si tu écris \det, c'est du latex et le latex l'écrit non pas avec les lettres mais avec les deux barres symboles du déterminant.
Mais les deux expressions sont synonymes.
Sauf erreur...
Sinon, pour l'utilisation des lignes de niveau, c'est très utile en physique (visualisation des champs électriques ou magnétiques).
A plus!
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