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Geométrie Triangle isocèle rectangle
Bonjour,
Il s'agit d'un exercice de géométrie que je vous propose. Si sa taille témoigne de sa simplicité laisser moi le soin de vous contredire, les apparences sont trompeuses...
L'énoncé :
Soit ABC un triangle quelconque, le milieu de du segment
On construit deux carrés de cotés respectifs et
on considère J et K les centres des carrées
Démontrer que est un triangle rectangle isocèle en I
Je me suis affairé dans le travail, j'ai divisé mon travail en deux partie : 1- démontrer que (IJ)
(IJ) en ensuite que IJ=IK
1 _ Orthogonalité :
Pour démontrer que les droites sont perpendiculaires, il est intéressant d'évoquer une certaine propriété :
Soient AIB et BIC sont des angles supplémentaires et juxtaposés, si l'on considère les bissectrices des angles AIB et BIC, les supports des bissectrices ( les droites ) forment un angle droit en I
Appliquée judicieusement dans notre cas, il suffirait de montrer que IK) et IJ) représentent
les bissectrices des angles correspondants à BIA ou AIC. Nous ne sommes pas loin, en effet K et J sont les CENTRES des carrées, de ce fait ces derniers ( les points I et K) sont équidistants des côtés des angles : ils appartiennent à la bissectrice !!
2_ L'isométrie :
Je projette pour cette démonstration de calculer IJ et IK individuellement, puis établir l'analogie. Ici il est nécessaire d'ouvrir une parenthèse : Je pense que cette démonstration ,n'en déplaise à plusieurs d'entre vous, est ---dégueulasse---, et je compatis. Mais pour utime recours, je suis sûr qu'elle est la plus qualifiée pour être affecter de cette fonction.
IJ, IK sont calculables par application du théorème d'Al-Kashi dans les triangles IBJ ET ICK.
Ainsi, il faut cherché à les exprimer en fonction d'entités supposées connue comme AB,AC,BC qui sont comme je le qualifie le plus adéquatement par ---mesures origines--- en effet par variabilité des ces mesures d'origines c'est toutes la figures qui se transforme.
Donc après toute cet labeur, j'en viens à : ( Par commodité , je pose AB=a BC=c AC=b)
(si erreur, l'a signalée)
Il ne me restent donc qu'à prouver que ces deux expressions se valent, chose sur laquelle je travail encore, et sur laquelle je demande que vaux efforts y soient concentrés. Cela
n'empêche pas que d'autres idées n'éclosent dans la discussion, Aucune idée n'est négligée
PS : J'ai une figure à disposition mais j'ignore comment l'introduire dans ce message
j'espère être entouré d'une plus ample aide, merci d'avance
Bonjour,
pour insérer une image c'est lire la FAQ (bouton FAQ en haut)
redimensionner au besoin l'image (il y a un max autorisé) puis bouton Img
quoi qu'il en soit :
c'est mal barré pour dire que IJ serait la bisectrice !!
(en fait tu confonds allègrement bisectrice et médiatrice etc ...)
je n'ai pas regardé la suite et pour l'instant pas trop d'idée en seconde
à suivre.
Merci, pour cette réponse hâtive , En ce qui concerne
- l'insertion des images : Merci ! Tu m'as vraiment enlevé un épine du pieds, cette difficulté m'entraver plusieurs tâchex . Pourquoi ne pas avoir cherché ? trop la flemme pour parcourir de c'en dessus dessous le forum. Je sais ,c'est pas bien !
- Je n'ai aucune confusion entre bisectrice et médiatrice qui sont deux entités distinctes l'une (bissectrice) est une demi droit qui divise l'angle en deux et l'autre ( médiatrice) est une droite perpendiculaire au support d'un segment et qui passe par son milieu. La méprise résidait sur le fait qu'il n'existait qu'une seule position pour qu'un angle droit se place sur un angle plat . Grosse erreur de ma part j'étais aveuglé par cette propriété inutile
- Je ne suis pas en seconde, et toutes pistes peut être entretenues et sera discutée avec intérêt.
Côté boulot : je revérifie mes résultats, explore d'autres recherche qui penche vers la géométrie classique ( triangles semblables, définition, angles...)
Une idée assez "calculatoire" est de calculer les mesures de IJ, JK et KJ
puis :
Pythagore pour prouver que IJK est rectangle
et simple égalité pour IJ = IK
IJ, JK et KJ sont calculés par Al-Kashi dans les triangles idoines
en remarquant que JAK = A + 90° etc
et donc cos(JAK) = sin(A)
une relation importante ici pour éliminer les angles sera peut être
a/sinA = b/sinB = c/sinC = 2R diamètre du cercle circonscrit
on peut donc tout exprimer en fonction de a,b,c et de R rayon du cercle circonscrit.
avec l'espoir que peut être R va finir par s'éliminer...
(R est une expression symétrique de a,b,c sans chercher à la connaitre)
y a plus qu'à ...
Je ne suis pas en seconde
enfin une dernière idée plus dans l'esprit "géométrie élémentaire" :
le triangle A'EF étant trivialement semblable à IJK et ABA'C étant un parallélogramme, la comparaison de EBA' et A'CF donne la clé directement ou presque.
(qu'ils se déduisent l'un de l'autre par une rotation dont il n'est pas nécessaire de préciser le centre, mais d'angle 90°)
Bonjour Dexter,
La rotation de centre A et d'amplitude 90° (dans le sens trigonométrique) applique D sur B et C sur G, donc le segment [DC] sur le segment [BG].
Ainsi, les droites DC et BG sont perpendiculaires et les segments [DC] et [BG] ont la même longueur.
Enfin, par le théorème des milieux appliqué dans les triangles BCD et CBG, on relie ce qui vient d'être fait aux droites IJ et IK pour la perpendicularité et aux segments [IJ] et [IK] pour le longueur.
Bien cordialement,
C'est y est , c'est clair à présent, Merci pour tous ces ouvrages. Ce qui me sidère c'est cette perception géométrique, innée chez vous, cette intuition qui vous a aidé à bifurquer sur cette démonstration que juge vraiment très élégante, et j'aimerais aussi développer ce réflexe durant la résolution des exercices . N'en déplaise à vous j'aimerai que la piste évoquée dans mon premier message et sous l'adjectif " calculatoire " par mathafou soit discutée, je ne veux pas que mon effort personel soit vain. Merci de signaler toutes les éventuelles critiques et complications futures qui pourront se présenter avec cette approche plutôt algébrique ( mais sans affixe ou repère )
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