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Géométrie vectorielle
Bonjour à tous, tout d'abord je tiens a dire que ce site est super. 
J'ai un exercice qui me donne du fil à retordre j'espère que vous pouvez m'aider.
Le plan est rapporté à un repère orthonormé (o;i;j). On donne les droites Dm et 
m d'équations respectives : Dm : 2x + (m+1)y - 4m = 0 et m : (m+1)x + 2y + 4 - 2m = 0.
1) a) demontrer que toutes les droites Dm passent pas le même point A dont on précisera les coordonnées.
b) De même montrer que les droites m passent toutes par le même point B
2) existe t'il une droite m passant par A et une droite Dm passant par B?
3)Comment choisir m pour que les droites m et Dm soient parallèles?
4) a) demontrer que, pour tout réels m, la droite Dm. Ou pr l'axe des abscisses en un point Im dont on précisera les coordonnées
b) demontrer que pour tout réels m la droite Dm coupe l'axe des ordonnées en un points Jm dont on précisera les coordonnées
C) determiner les coordonnées du point Km milieu de [ImJm]. Demontrer que l'ensemble des points Km appartiennent a une droite L dont on donnera l'équation et que l'on représentera dans le repère (o;i;j)
5) dans le repère (o;i;j) représenter L puis A et B
SOIT Km un poînt quelconque de la droite L. construire alors les points Im et Jm correspondants, en justifiant la construction. En déduire alors une construction de m et Dm.
Pour ma part j'ai déjà fait :
1) a) il faut que y= 2x + (m+1)y - 4m - 2 arrive a la relation Am + B = 0. Il faut trouver les valeurs de A et B.
2x + (m+1)y - 4m - 2
2x + ym + 1y - 4m - 2
(y+1-4)m + 2x - 2
(y-3)m + 2x - 2
A = y - 3 = 0
B = 2x - 2 = 0
Donc y = 3 et 2x = 2 donc x = 1
donc A (x;y) A (1;3)
b) faisons de même pour le point B
(m+1)x + 2y + 4 - 2m = 0
xm + 1x + 2y + 4 - 2m
((x+1-2)m + 2y + 4
Donc A = x -1 donc x = 1 et B = 2y + 4 2y = -4y=2
Donc B (x;y) B (1;2)
Aidez moi bonne chance pour cet exercice 
1)a) L'équation de la droite Dm peut s'écrire 2x + y + m(y - 4) = 0 .
Les coordonnées du point A doivent satisfaire cette équation quelle soit la valeur de m .
Donc yA = 4 et xA = . . . .
2x + y + m(y - 4) = 0 doit être vrai pour toute valeurs de m. Considère le comme un polynôme en m. Les coefficients de ce polynôme doivent donc être nuls. Et donc
2x+y=0 et y-4 = 0 qui donnent y=4 et x=-2
Toutes les droites passent bien par le point A(-2;4)
Merci Glapion j'ai bien compris ce 1)a).
Pour le 1)b) il faut donc procéder de la même manière; m : (m+1)x + 2y + 4 - 2m = 0 xm + 1x + 2y + 4 - 2m (x+1-2)m + 2y + 4 2y + 4 + (x-1)m est considéré aussi comme un poulie et il faut que les coefficient de ce polynôme soient nuls donc il faut que 2y + 4 = 0 et x-1 = 0 donc yB = 2 et xB = 1
Ai je raison?
heu non. (m+1)x + 2y + 4 - 2m = 0 m(x-2) + x+2y+4 =0 donc x-2=0 et x+2y+4=0 donnent x=2 et y=-3 donc B(2;-3)
Oups je me suis trompée, je me rectifie :
On procède de la même façon que pour le 1)a) donc on peut voir que m : (m+1)x + 2y + 4 - 2m = 0 xm + 1x + 2y + 4 - 2m = 0 (x-2)m + x + 2y + 4 = 0
Donc x-2 = 0 x = 2 donc x + 2y + 4 = 0 2 + 2y + 4 = 0 6 + 2y= 0 donc y = -3
donc B (2;-3) !
Oui Glapion je viens de voir mon erreur ! Merci ! A présent pour la question 2) il faut voir si l'équation de Dm s'annule en remplaçant x et y par les coordonnées de B et on fait de même en voyant si l'équation de m s'annule en remplaçant x et y par les coordonnées du point A, ai je raison?
J'ai fais la question 2) et j'ai trouvé :
- Pour Dm :
Dm : 2x + (m+1)y - 4m - 2 = 0 2x + y + m(y-4) = 0 donc lorsqu'on remplace x et y par les coordonnées de B : 2
2.- 3 + m(-3-4) = -7m pour conclure aucune droite Dm ne passe par B?
m : (m+1)x + 2y + 4 - 2m = 0 (x-2)m + x + 2y + 4 = 0 donc lorsque nous remplaçons pas y et x des coordonnées du point A cela donne : (-2-2)m - 2 + 2 4 + 4 = -4m + 10.
????
Pourquoi conclus-tu cela 
tu remplaces x et y par les coordonnées de B et ça donne 1-7m=0 donc m=1/7 marche
Pareil pour l'autre, -4m+10=0 donne m=5/2 donc il y a bien une droite m qui passe par A
Effectivement merci je n'avais pas compris . De ce fait en remplaçant m par la valeur trouvé pour Dm on en conclu que oui un droite Dm passe par le point B. Et en remplaçant m par la valeur trouvée pour m on en conclu que oui une droite de m passe par le point A
Pour la question 3, je sais que deux droites d'équations ax + by + c = 0 et a'x + b'x + c' = 0, sont parallèles si et seulement si ab' + a'b = 0 je suis un peu perdue avec les trois inconnues de nos équations
On a Dm = 2x + y + m(y-4) = 0 et m : (x-2)m + x + 2y + 4 = 0 donc avec ab'+a'b = 0 on voit que a = 2, b = ?, a' = ? Et b'= 2. Donc ab' + a'b = 0 2b' + 2a = 0 donc il faut que b' et a soient égaux a -2
Donc après cela on peut donc determiner que m doit être égal à -3 dans Dm et m donc ce qui donnerais Dm : 2x - 2y + 2 et : -2x + 2y + 10 ce qui fait que ab' + a'b = 0 ! C'est bien ça ?
3) Les deux droites de 17h02 sont parallèles si on a a/a' = b/b' .
Il s'agit de déterminer la valeur de m qui rend parallèles les droites Dm et m.
non, Priam a raison, c'est a/a'=b/b' la condition donc ab'-ba'=0
(il faut qu'elles aient même coefficient directeur, ou encore que leurs vecteurs normaux respectifs (a;b) et (a';b') soient colinéaires, donc ça donne bien a/a'=b/b').
d'accord. Si m a comme valeur 1 pour les deux équations, cela fait des deux droites des droites parallèles dans ce cas?
La réponse a la question est que pour que les droites soient parralele il faut que m soit le même dans les deux equation afin de remplir la condition a/a' = b/b' ?
Dans l'égalité a/a' = b/b', il suffit de remplacer a, a', b et b' par leurs valeurs tirées des équations de Dm et m pour obtenir une équation permettant de calculer la valeur de m demandée.
Depuis hier je suis sur le 3 je sèche malgré vos conseil très utiles... Pouvez vous me lancer pour que je finisse...
3)Comment choisir m pour que les droites m et Dm soient parallèles?
Donc ça on t'a dit, la condition c'est ab'-ba'=0. Donc avec Dm : 2x + (m+1)y - 4m = 0 et m : (m+1)x + 2y + 4 - 2m = 0 ça va s'écrire :
22 - (m+1)² = 0 4 -(m+1)²=0 on repère un a²-b²
(2+m+1)(2-m-1)=0 (m+3)(1-m)=0 d'où deux valeurs de m : m=-3 et m=1
Tu as un excellent moyen de vérifier tout tes calculs, tu prends geogebra, tu crée un curseur que tu appelles m
tu tapes les deux équations 2x + (m+1)y - 4m = 0 et (m+1)x + 2y + 4 - 2m = 0 dans la barre de saisie.
Quand tu fais bouger le curseur, tes droites varient, tu en profites pour vérifier tes points fixes que tu as déjà trouvés. Puis tu vérifies que si m=-3 ou 1, ça donne bien deux droites parallèles.
Exemple :
Erratum pour les premières questions même si ça n'a pas de réels enjeux dans la suite :
Dm = 2x + (m+1)y - 4m - 2 2x + (m+1)y -4m - 2 et non 2x + (m+1)y -4m
C'est quoi 4a) ?
4) a) démontrer que, pour tout réels m, la droite Dm coupe l'axe des abscisses en un point Im dont on précisera les coordonnées ?
il suffit de faire y=0 dans l'équation de la droite et de trouver x
Faisons y=0 dans l'équation Dm :
Dm = 2x + (m+1)y - 4m - 2
2x (m+1) 0 - 4m -2
2x - 4m - 2
2x - 4m = 2
2x = 2 + 4m
X = (2+4m) / 2 2m
?!
Lorsqu'on fait de même pour le b) en faisant x= 0 dans m , nous trouvons que y= -2+m donc Jm (0;-2m)
tu devrais vraiment essayer geogebra pour le dessin :
Quand on demande le lieu de Km, on voit bien se dessiner la droite L demandée.
Mais il faut que tu trouves son équation.
Les coordonnées de Km sont (1/2(2m+1);1/2(-2+m)) c'est bien ça? Car la propriété dit que dans un plan muni d'un repère (o;i;j) étant donné deux points A(xA;yA) et B(xB;yB) le milieu de [AB] a pour coordonnées (1/2(xA+xB);1/2(yA+yB))
Et a partir de ces coordonnées il faut determiner l'équation de la droite L par laquelle passe le point Km
oui, tu connais les coordonnées de Im et Jm donc tu peux en déduire celles de Km (en faisant la demi somme des coordonnées)
tu te retrouves avec XK=... et YK=...
Pour avoir le lieu de Km il te suffit d'éliminer le paramètre m entre ces deux équations (c.a.d prendre m=... dans une des deux équations et remplacer dans l'autre par exemple).
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