Bonjour
Question : Comment démontrer le vecteur gradient de f(x,y)=0 en a est orthogonal la tangente en ce point ?
Merci !
bonsoir kévin
un peu embrouillée ta question !
tu veux dire que le vecteur normal à la courbe d'équation f(x,y)=0 en a est le gradient de f en a ?
Bonsoir lafol
tu veux une preuve rigoureuse, ou une explication "à la physicienne" te suffirait ? (parce que c'est tout ce qui me vient à l'esprit à cette heure avancée )
Pour ce soir je me contenterai d'une preuve à la physicienne
Et si quelqu'un a une preuve rigoureuse qu'il n'hésite pas à s'incruster ^^
Tu as f(x,y)=0 . sur un domaine où on peut passer à y = g(c), on a f(x, g(x)) = 0.
On dérive en x = a :
et comme g'(a) donne le coeff directeur de la tangente à la courbe au point d'abscisse a, un vecteur tangent a pour coordonnées (1, g'(a)) et l'égalité ci-dessu traduit bien que le gradient est orthogonal à ce vecteur
il reste juste un flou assez artistique sur la possibilité de définir g : si f(x,y)=0 donne une courbe qui fait des boucles, ça peut coincer ....
Oui pour les points doubles ?
J'ai besoin de cette propriété pour prouver un truc dans mon DM, et comme on a pas vu le gradient avec la démo je peux m'en sortir sans le citer ^^
si tu as plusieurs points à la verticale d'un même x, ça fait désordre, pour définir g .... il faut du coup le faire par petits morceaux sur lesquels cette situation est évitée ... il reste la question des tangentes verticales ...
Salut,
il reste juste un flou assez artistique sur la possibilité de définir g : si f(x,y)=0 donne une courbe qui fait des boucles, ça peut coincer ....
Sous de bonnes hypothèses sur f, g est un difféomorphisme local justement quand le point est régulier non ?
Donc localement on peut définir g, ce qui suffit, même si boucles il y'a
Sauf erreur.
a+
Bonne nuit, otto
on voit bien que chez toi, ce n'est pas encore une heure indécente pour réfléchir
merci !
Re,
bon alors voici l'idée de la démonstration:
Si on est sur une courbe de niveau de la forme f=c, alors la dérivée dans la direction de la tangente à la courbe de niveau est nulle (puisqu'il n'y a pas de variation sur une courbe de niveau, par définition d'une courbe de niveau...).
Or, D_u f (la dérivée directionnelle de f dans la direction de u ou u est un vecteur unitaire) est donnée par
.
ou phi est l'angle formé par les deux vecteurs.
Si on veut que ce truc soit nul, alors nécessairement que phi=pi/2 + kpi ou que grad f =0
Dans les trois cas, u ca signifie que u est perpendiculaire a grad f et donc que la tangente est perpendiculaire au gradient.
a+
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