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Niveau Maths sup
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Gradient orthogonal à la tangente

Posté par
infophile
01-11-07 à 23:47

Bonjour

Question : Comment démontrer le vecteur gradient de f(x,y)=0 en a est orthogonal la tangente en ce point ?

Merci !

Posté par
lafol Moderateur
re : Gradient orthogonal à la tangente 01-11-07 à 23:56

bonsoir kévin
un peu embrouillée ta question !
tu veux dire que le vecteur normal à la courbe d'équation f(x,y)=0 en a est le gradient de f en a ?

Posté par
infophile
re : Gradient orthogonal à la tangente 02-11-07 à 00:03

Bonsoir lafol

Citation :
Précisément, un point M=(x,y) appartenant à la courbe est dit régulier quand le gradient de f est non nul en ce point. Et dans ce cas, la tangente est orthogonale au vecteur gradient.

Posté par
lafol Moderateur
re : Gradient orthogonal à la tangente 02-11-07 à 00:08

tu veux une preuve rigoureuse, ou une explication "à la physicienne" te suffirait ? (parce que c'est tout ce qui me vient à l'esprit à cette heure avancée )

Posté par
infophile
re : Gradient orthogonal à la tangente 02-11-07 à 00:09

Pour ce soir je me contenterai d'une preuve à la physicienne

Et si quelqu'un a une preuve rigoureuse qu'il n'hésite pas à s'incruster ^^

Posté par
lafol Moderateur
re : Gradient orthogonal à la tangente 02-11-07 à 00:15

Tu as f(x,y)=0 . sur un domaine où on peut passer à y = g(c), on a f(x, g(x)) = 0.
On dérive en x = a : \frac{\partial f}{\partial x}(a, g(a))+g'(a)\frac{\partial f}{\partial y}(a, g(a))=0

et comme g'(a) donne le coeff directeur de la tangente à la courbe au point d'abscisse a, un vecteur tangent a pour coordonnées (1, g'(a)) et l'égalité ci-dessu traduit bien que le gradient est orthogonal à ce vecteur

Posté par
lafol Moderateur
re : Gradient orthogonal à la tangente 02-11-07 à 00:16

y = g(x), bien entendu

Posté par
infophile
re : Gradient orthogonal à la tangente 02-11-07 à 00:22

Ca va c'est pas trop à la physicienne quand même, ça me va

Merci

Posté par
lafol Moderateur
re : Gradient orthogonal à la tangente 02-11-07 à 00:23

il reste juste un flou assez artistique sur la possibilité de définir g : si f(x,y)=0 donne une courbe qui fait des boucles, ça peut coincer ....

Posté par
infophile
re : Gradient orthogonal à la tangente 02-11-07 à 00:27

Oui pour les points doubles ?

J'ai besoin de cette propriété pour prouver un truc dans mon DM, et comme on a pas vu le gradient avec la démo je peux m'en sortir sans le citer ^^

Posté par
lafol Moderateur
re : Gradient orthogonal à la tangente 02-11-07 à 00:31

si tu as plusieurs points à la verticale d'un même x, ça fait désordre, pour définir g .... il faut du coup le faire par petits morceaux sur lesquels cette situation est évitée ... il reste la question des tangentes verticales ...

Posté par
infophile
re : Gradient orthogonal à la tangente 02-11-07 à 00:39

Ok j'y réfléchirai à tête reposée, merci et bonne nuit lafol

Posté par
lafol Moderateur
re : Gradient orthogonal à la tangente 02-11-07 à 00:46

bonne nuit, kévin

Posté par
otto
re : Gradient orthogonal à la tangente 02-11-07 à 00:49

Salut,
il reste juste un flou assez artistique sur la possibilité de définir g : si f(x,y)=0 donne une courbe qui fait des boucles, ça peut coincer ....
Sous de bonnes hypothèses sur f, g est un difféomorphisme local justement quand le point est régulier non ?
Donc localement on peut définir g, ce qui suffit, même si boucles il y'a

Sauf erreur.
a+

Posté par
lafol Moderateur
re : Gradient orthogonal à la tangente 02-11-07 à 00:52

Bonne nuit, otto
on voit bien que chez toi, ce n'est pas encore une heure indécente pour réfléchir
merci !

Posté par
otto
re : Gradient orthogonal à la tangente 10-11-07 à 19:20

Re,
bon alors voici l'idée de la démonstration:
Si on est sur une courbe de niveau de la forme f=c, alors la dérivée dans la direction de la tangente à la courbe de niveau est nulle (puisqu'il n'y a pas de variation sur une courbe de niveau, par définition d'une courbe de niveau...).

Or, D_u f (la dérivée directionnelle de f dans la direction de u ou u est un vecteur unitaire) est donnée par
D_uf = \nabla f . u = |\nabla f||u|cos(\phi).
ou phi est l'angle formé par les deux vecteurs.
Si on veut que ce truc soit nul, alors nécessairement que phi=pi/2 + kpi ou que grad f =0

Dans les trois cas, u ca signifie que u est perpendiculaire a grad f et donc que la tangente est perpendiculaire au gradient.

a+

Posté par
infophile
re : Gradient orthogonal à la tangente 10-11-07 à 19:29

Merci otto je me la garde de côté



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