Bonjour à tous!

J'ai un petit problème. Vous allez probablement penser que exagère parce que le devoir que je vous envoie est particulièrement long, mais j'ai vraiment du mal avec ce type de sujet, je n'y arrive pas du tout.
Bon le voici :

n est un entier strictement positif quelconque.
On note u_nle nb de façons de paver un couloir rectangulaire de 2  mètres de large et de n mètres de long à l'aide de dalles de 1 mètre par 2 mètres.
Exemple d'un pavage lorsque n=8
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     | |__| |__|__|
     |_|__|_|__|__|

Il est commode de remplacer un pavage par une liste de 1 et de 2 représentant respectivement une dalle verticale et deux dalles horizontales, et ceci en prenant le pavage de gauche à droite.
Ainsi l'exemple ci dessus est représenté par la liste (1,2,1,2,2).
La somme des éléments de la liste est égale à la longueur n du couloir. Inversement, toute liste de 1 et de 2 donjt la somme des éléments vaut n détermine un pavage de couloir.
Il y a donc une bijection entre l'ensemble des pavages d'un couloir de n mètres et l'ensemble des listes de 1 et de 2 dont la somme des éléments vaut n. Ainsi u_nest le nombre de ces listes.
La suite u s'appelle la suite de Fibonacci.


1. Calculer u₁, u₂...u₅ en écrivent ttes les listes. ( pour ça il y a aucun soucis)

2. Démontrer que pour tout entier strictement positif n, u_n+2=u_n+1+u_n

3.On considère les suites v,x,y définies par :
pour tout n *, v_n=u_n+1/u_n, x_n=v_2n, y_n=v_2n+1.

a. Démontrer qu'il existe des fonctions f : +*+* et g : +*+* telles que :
pour tout n *, v_n+1=f(v_n) x_n+1=g(x_n) et y_n+1=g(y_n).

b. Vérifier que g est croissante et en déduire que :
pour tout n*, x_nx_n+1y_n+1y_n.

c. Démontrer que les suites x et y convergent. On note l et l' leur limite respective. Etablir que l=g(l) et l'=g(l') et déterminer l et l'. Que peut on dire des suites x et y? et de la suite v?

4. L'entier n étant fixé, on calcule u_n par un autre procédé : on effectue une partition de l'ensemble des listes en fonction de la longueur de la liste ( c'est à dire du nombre de ses éléments). Par exemple, pour n=8, la liste (1,2,1,2,2) est de longueur 5.

a. Quelles sont les longueurs possibles d'une liste de 1 et de 2 dont la somme des éléments vaut n?

b. Combien y-a-t-il de listes pour chacunes de ces longueurs?

c. En déduire que : u_n=(n)+(n-1)+(n-2)+(n-3)
                                (0) ( 1 ) ( 2 )   ( 3 )
+...,

le dernier terme étant (n/2) si n est pair et (n+1/2)
                            (n/2)                  (n-1/2)
si n est impair.

d. Montrer le phénomène sur le triangle de pascal.

pas très agréable à lire car c'est très long, mais je ne saurais comment vous remercier si vous m'aider, surtout que ça m'a pris du temps à tout taper.
Je vous remercie tous d'avance pour l'aide que vous allez m'apporter.
a bientot