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Gros problème avec les récurrences
Bonjour, j'ai beaucoup de mal avec les récurrences, je comprend le principe, je comprend les corrections, etc... Mais moi-même je n'arrive jamais trop à les faire... :/
Voici l'exercice type-bac omù je bloque (Inde, Avril 2003)
On considère la suite numérique (Un) définie sur 
par :
U(0) = a, et, pour tout entier n, U(n+1) = Un(2-Un)
où a est un réel donné tel que 0 < a < 1.
1) On suppose dans cette question que a = 1/8
a) Calculer U(1) et U(2).
b) Dans un repère orthonormal (unité graphique 8cm), tracer, sur l'intervalle [0;2], la droite d d'équation y = x et la courbe P repérsentative de la fonction f : x 
x(2-x).
c) Utiliser d et P pour construire sur l'axe des abscisses les points A(1), A(2), A(3) d'abscisses respectives U(1), U(2) et U(3).
Voilà, donc toute la question 1, c'est bon je l'ai faite. C'est à partir de là que ça se corse...
2) On suppose dans cette question que a est un réel quelconque de l'intervalle ]0;1[.
a) Montrer par récurrence que, pour tout entier n, 0 < U(n) < 1.
Je bloque donc à cette question... J'ai essayé de partir en montrant que U(1) était vraie, car avec a = 1/8, U(1) = 15/64 et 0 < 15/64 < 1. Mais l'énoncé nous dis que a est un réel quelconque compris entre 0 et 1. Donc je ne sais pas si mon départ est correct, et s'il l'est, je ne sais pas comment faire après...
Voilà, merci d'avence...
Personne pour m'aider pour ce problème...? 
2) On suppose dans cette question que a est un réel quelconque de l'intervalle ]0;1[.
a) Montrer par récurrence que, pour tout entier n, 0 < U(n) < 1.
U(n+1) = Un(2-Un)
Si à est un réel, il est inutile de prendre 1/8
On te dit que a apparteien à ]0;1[
1er étape de rec : on vérifique la propriété est vré au rang 0 c'ad que pour U0
or U0 = a or a appartien à 0;1
d'ou 0<a<1
d'ou on a bien 0< U0<1
2éme étape.
on suppose 0<Un<1 et on dem que 0<Un+1<1
or U(n+1) = Un(2-Un)
0<Un<1 d'ou 0>-Un>-1
2>2-Un>1
1<2-Un<2
et
0<Un<1
d'ou le produit
0<Un(2-Un)<2
0<Un+1<2
aprés a topi de voir
Ok, merci
En cherchant bien j'ai presque trouvé ce que tu m'as mis, mais le soucis c'est que l'on trouve
0<Un+1<2
Alors que l'on cherche
0<Un+1<1
En gardant cette méthode là, il faudrait prouver que U(n+1)<1 ...
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