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groupe
bonjour je n'arrive pas a faire cette exercice si quelqu'un pouvez m'aider un grand merci d'avance
montrer que G={x+y racine(2)|x,y 
^2} est un sous groupe de 
. est il discret ou dense ?
aidez moi svp
Bonjour
- montre qu'il est non vide
- montre qu'en additionnant deux elements de G, tu obtiens un élément de G
- montre que l'opposé d'un élément de G est aussi élément de G
Bonjour,
déjà tu dois montrer que G est un sous-groupe de R,
donc tu montres que 0 est dans G et est un élément neutre,
ensuite que pour tous x,y dans G, on a x-y dans G.
Bonjour à tous
Les sous-groupes de R sont ou discrets ou denses et on reconnait un dense au fait que 0 est le inf des éléments strictement positifs de G. Ici c'est vrai car 
2 est irrationnel.
Bonsoir Camélia
Pour le résultat, c'est OK, mais comment le démontrer directement? J'ai essayé en utilisant une suite de rationnels qui tend vers 2, mais ça n'a pas donné de résultat pharamineux. Tu as une idée? 
Rebonjour
Oui, bien sûr. Si on suppose que le sous groupe est discret, il existe g=m+n2 tel que G=Zg. Alors 2=pg=pm+pn2. Ceci entraine pm=0 et pn=1, m=0 et p et n valent 
1 donc g=2 ce qui est impossible car 1 est dans G.
bonjour et un grand merci a jeanseb, romu et Camélia de vos reponses. montrer que c 'est un sous groupe pas de probleme mais si il set dense ou discret je ne comprends pas la demonstration de Camélia si quelqu'un pouvait me l'expliqué.
Bonjour
Les sous-groupes de R sont ou discrets ou denses
...rappelait Camélia. qui ajoutait:
et on reconnait un dense au fait que 0 est le inf des éléments strictement positifs de G
Cela veut dire que si G est discret, il est de la forme gZ c'est a dire tous les multiples de "l'élément minimal non nul" par les entiers relatifs.
camélia part donc de cet élément minimal g, qui s'écrit g = m+ n
Comme
Donc
donc
égalité entre un irrationnel (a gauche) et un entier (a droite)
d'où pn = 1 et pm = 0.
d' où p et n valent 1 ou -1 et n=0
Conclusion: g =
Donc G est dense dans IR.
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