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groupe

Posté par
mickey12 10-06-11 à 15:01

BONJOUR!
Mon souci actuel:
Montrer que si tous les éléments non neutres d'un groupe sont d'ordre 2, alors le groupe est commutatif.
Donner un exemple de groupe infini dont tous les éléments sont d'ordre 2.
Mon autre souci du moment :
Trouvez tous les produits directs possibles de groupes cycliques qui produisent un groupe d'ordre 72. Parmi tous ces produits, lesquels sont isomorphes?
Merci d'avance à ceux qui vont me donner des coups de main!

Posté par
Camélia Correcteurre : groupe 10-06-11 à 15:05

Bonjour

Pour les éléments d'ordre 2: Regarde bien (xy)(xy)=e. l'ensemble des suites à coefficients dans (Z/2Z).

Pour les groupes d'ordre 72 il faut quand même des théorèmes... Ecris d(abord toutes les décompositions possibles en facteurs de 72, puis réfléchis!

Posté par
mickey12re : groupe 10-06-11 à 15:53

x et y sont dans le groupe donc le produit aussi! d'ou (xy)(xy)=e et  alors? ca ne prouve en rien que xy=yx !!
tous les éléments dans Z/2Z différents du neutre sont bien d'ordre 2 et quand on prend les suites à vaeurs dans cet ensemble, on en a une infinité et l'ordre de chaque éléments de la suite est au plus de 2 c ca?
pour 72, j'ai déja essayé la décomposition puis je trouve seulement 6 produits directs alors que le prof me dit qu'il y en a 16!

Posté par
Camélia Correcteurre : groupe 10-06-11 à 16:16

Citation :
alors? ca ne prouve en rien que xy=yx


Vraiment?

xyxy=e. Multiplie par x à gauche et par y à droite!

Oui, il y en a 16 en tout, sans tenir compte des isomorphismes

\Z/72\Z,\ \Z/2\Z\times \Z/36\Z,\ \Z/4Z\times \Z/18\Z,\ \Z/8\Z\times \Z/9\Z,\ \Z/24\Z\times \Z/3\Z
\Z/2\Z\times \Z/2Z\times \Z/18\Z,\ \Z/4\Z\times \Z/2\Z\times \Z/9\Z,\ \Z/2\Z\times \Z/2\Z\times \Z/2\Z\times \Z/9\Z,\
\Z/4\Z\times \Z/2\Z\times \Z/3\Z\times \Z/3\Z,\ \Z/2\Z\times \Z/2\Z\times \Z/2\Z\times \Z/3\Z\times \Z/3\Z,\ \Z/8Z\times \Z/3\Z\times \Z/3\Z
\Z/6\Z\times \Z/12\Z,\ \Z/6\Z\times \Z/6\Z\times \Z/2\Z,\ \Z/6\Z\times \Z/4\Z\times \Z/3\Z,\ \Z/6\Z\times \Z/2\Z\times \Z/2\Z\times \Z/3\Z

et je crois que je n'en ai écrit que 15; cherche l'absent!

Posté par
mickey12re : groupe 10-06-11 à 17:54

ah mais ouiiiiiii x et y sont dans le groupe dont tous les éléments sont d'ordre 2!
Pardon!je vais tenté de trouver l'absent merci beaucoup camélia

Posté par
mickey12re : groupe 10-06-11 à 17:57

mais Z/2Z X Z/36Z n'est pas un groupe d'ordre 72 si?

Posté par
Camélia Correcteurre : groupe 11-06-11 à 14:22

2\times 36=72, non?

Posté par
mickey12re : groupe 12-06-11 à 20:17

le manquant est /12/2/3 si je ne me suis pas trompée...

Posté par
mickey12re : groupe 13-06-11 à 12:08

Par contre: une question me tracasse, le prof m'a dit qu'on trouvait 16 produits de groupes formant un groupe d'ordre 72. Mais je n'arrive pas à savoir comment on fait pour les dénombrer. 72 se décompose en produits de facteurs premiers de la forme suivante: 2*2*2*3*3 (produit composé de 5 termes dont deux discernables...)

Posté par
Camélia Correcteurre : groupe 13-06-11 à 14:31

On les compte... factorisation en 2 facteurs, puis en 3, en 4, etc...

Posté par
mickey12re : groupe 13-06-11 à 17:49

1 SEUL FACTEUR : trivial;
2 facteurs: on peut regrouper 2 et 3 termes = 3 possibilités
OU : 1 et 4 termes = 2 possibilités
3 facteurs: on peut faire 3/1/1 terme(s) = 3 possibilités
OU 2/2/1 = ?
4 facteurs : 1/1/1/3 (il faut regrouper deux éléments parmi les 5) = 3 possibilités
5 facteurs : 1 possibilités.
En l'occurence, si je ne me suis pas trompée, à la place de "?", il y a 3 mais je trouve plus ...
De plus comment fait on pour déterminer les isoorphismes entres produits? Cela dépend-il du nombre de produits dans le facteur? A mon avis, c'est une erreur....

Posté par
Camélia Correcteurre : groupe 14-06-11 à 14:12

Pour les isomorphismes entre produits utiliser le théorème chinois!

Posté par
mickey12re : groupe 14-06-11 à 15:09

ok merci!


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