Bonjour Monsieur , j'aimerais que vous m'aidiez à résoudre mon exercice

1 .Soit G un groupe d'élement neutre e

a) H et K sont deux sous-groupe de G tels que [G : H] et [G : H] sont définis . Montrer que [G : (H∩K)] est défini
b) Soient n∈ IN , n≥2 ,H1, H2 ,… ,Hn des sous-groupes de G d'indices finis dans G ; montrer que H1∩H2∩…∩Hn est d'indice fini dans G
c) H et K sont deux sous groupe de G tel que [G :H] et [G :K] sont finis . On suppose de plus que         [G :H] ⋀ [G : K]=1
i) Montrer que [G : (H∩K)]=[G : H].[G : K]
ii) En utilisant les relations [G : (H∩K)]=[G : H].[H : (H∩K)] et [G : (H∩K)]=[G :K].[K : (H∩K)] montrer que     [H : (H∩K)]=[G : K] et [K : (H∩K)]=[G : H]
iii) Soit f :H /ℛgH∩K  ⟶ G/ ℛgK  
                     x(H∩K)⟼ xK
Montrer que f est bien définie et que f est injective
iv) Déduire de ce qui précède que G= HK
d) On suppose que G a exactement trois sous groupes {e} , H et G
i) Montrer que H est distingué dans G
ii) Montrer que H est défini d'ordre un nombre premier p
iii) Montrer que |G/H|=p
iv) En déduire que G est un groupe cyclique d'ordre p2
v) Inversement, montrer que si G est un groupe cyclique d'ordre p2 où p est un premier alors G a exactement trois sous groupe
e) On suppose G fini d'ordre 20449
i) Montrer que G est abélien
ii) Déterminer tous les types de groupe d'ordre 20449
f) Soit H un sous groupe de G . Montrer que pour tout g∈G , [G : H]=[G : gHg-1]
g) On suppose G infini admettant un sous groupe propre H tel que [G : H] est fini ; on pose H0=∩gHg-1  ( g∈G )l'intersection de tous les conjugués de H dans G
i ) Montrer qu'il existe une partie finie A de G telle que H0= =∩aHa-1   (a∈A)
             ii)Montrer que [G :H0] est fini et que G n'est pas un groupe simple
                                
                                                    Merci de m'aider pour ce exercice