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groupe diédral
Bonjour,
je galère sur cet exo:
Soient n 
, n
3 et Pn le polynôme régulier convexe à n sommets A0,....,An-1 inscrit dans le cercle unité, dont on notera O le centre. On rapelle que les isométries du plan affine forment un groupe et on note Dn le sous groupe des isométries qui laissent Pn invariant.
(1) Justifier que le point O est laissé fixe par un élément 
de Dn
O est le centre du cercle circonscrit à Pn donc O est l'isobarycentre des points A0,....,An-1. Soit Dn, est donc une isométrie donc elle conserve les barycentres d'où (O) est l'isobarycentre des points (A0),....,(An-1)
or {(A0),....,(An-1)}={A0,....,An-1} car est une isométrie qui laisse Pn invariant et l'image d'un sommet est un sommet (car l'image d'un segment par est un segment de même longueur donc l'image d'un côté est un côté or un sommet est l'intersection de deux côtés)
donc (O) = O
Combien y a t'il de choix pour (A1)?
L'image d'un sommet par est un sommet or Pn a n sommets donc il y a n choix pour (A1)
Combien y a t'il de choix pour (A2) lorsque (A1) est choisi?
On fixe (A1)=(Ai) avec i {0,...,n-1}.
Il ne reste alors plus que 2 choix pour (A2) :
Ai-1 ou Ai+1 pour i{1,..,n-2},
A0 ou A2 si i=0
et An-2 ou A0 si i=n-1
car l'image d'un côté est un côté.
En déduire que card(Dn)
2n
Pour les autres Ai il ne reste plus qu'un seul choix car une isométrie est entierement déterminée par l'image de trois points non alignés (en l'occurence ici O, A1 et A2), d'où card(Dn)2n
Donc déjà pour la première question je ne sais pas si mes arguments sont suffisants...
(2) Vérifier que la symétrie orthogonale s d'axe OA0 et la rotation r de centre O et d'angle 2
/n appartiennent à Dn
Donc là il faut montrer que s et r sont des isométries (par définitions de la symétrie orthogonale et de la rotation elles le sont non?) et que s(Pn)=Pn et r(Pn)=Pn
Là je n'y arrive pas car je n'arrive pas à définir s et r (on peut définir r par la multiplication par ei2/n peut être?)
Démontrer que srs = r-1 et en déduire que pour tout m , on a srms = r-m
Là j'ai envie de dire ça se voit 
mais bon jpense que lorsqu'on aura défini r et s ce sera faisable.
Et la suite de l'exercice, je n'ai pas d'idées:
(3) Démontrer que Dn=<r,s>={ri,ris, 0in-1}
(4) Soit G un groupe tel que G=<a,b> avec a d'ordre n, b d'ordre 2 et bab=a-1. Démontrer que le groupe G est entierement défini par ces données (ici je ne comprends pas ce qu'il demande...) et qu'il est isomorphe à Dn
(5) Démontrer que Dn est isomorphe à un sous groupe de Sn. Qu'en est il pour n=3 ? Ici il suffit d'utiliser le théorème de Caley non? Sinon j'ai lu quelquepart que D3 s'identifiait à S3 mais je n'ai aucune idée de comment le montrer...
Voila, si vous pouviez m'aider ça serait sympa!
Merci beaucoup
Bonjour
Pour 1) je pense que c'est suffisant.
Pour 2) Oui, tu peux admettre que ce sont des isométries. Après tu as le choix: tu te places dans C et tu définis et
ou tu te places dans R2 et tu écris les matrices 2
2 correspondantes.
Pour 3) tu démontre que tout élément du groupe peut s'écrire de manière unique sous la forme donnée.
La suite pour plus tard...
Bonjour,
je poste déjà pour suivre le fil et je plante au même niveau de l'exo ,
ce qui me pose problème pour montrer que ,
donc en travaillant dans le plan complexe, c'est comment procéder pour montrer que est un polygone?
Il faut admettre une bonne fois pour toutes qu'une isométrie qui conserve le polygone est entière ment déterminée par l'image des sommets. Si on décide de travailler dans C, on a , et on vérifie que l'image d'un sommet en est un.
oui en identifiant donc aux racines n-ième de l'unité,
l'image d'un sommet de est un sommet de
, c'est ok.
la conjugaison est une isométrie affine c'est ok.
Il faut admettre une bonne fois pour toutes qu'une isométrie qui conserve le polygone est entière ment déterminée par l'image des sommets.
c'est ça qui me gêne en fait, je ne vois pas comment le montrer?
ah oui effectivement, mais ici on sait pas que la conjugaison est dans , vu que c'est ce qu'on veut montrer,
en quoi est-ce suffisant que l'image par la conjugaison d'un sommet est un sommet pour en déduire que la conjugaison est dans ?
Si j'avais un élément explicite , tel que
et la conjugaison coincident sur les sommets, comme une isométrie qui conserve le polygone est entièrement déterminée par l'image des sommets, je pourrais dire c=conjugaison et donc la conjugaison est dans
.
Tu sais que la conjugaison (qui correspond à une symétrie) est une isométrie. Alors (avec abus de langage)
ok, je vais essayer de me réprésenter ça un peu mieux avant de passer aux questions suivantes avant de passer à la question suivante.
Merci Camélia 
Te casse pas trop la tête avec des détails. Pense à un vrai polygône plat que tu manipules dans le vrai espace.
Ben pas beaucoup plus loin jen suis à essayer de rediger la question 2, je ne vois pas pourquoi on doit préciser que:
s([Ak,Ak+1])=[s(Ak),s(Ak+1)]
car comme le dit Camélia, une isométrie qui conserve le polygône est entièrement déterminée par l'image des sommets, donc pas besoin de parler de l'image des segments non?
il suffit donc de dire que s et r sont des isométries et que l'image d'un sommet du polygône pas ces isométries est un sommet du polygône pour dire que r et s sont dans Dn si j'ai bien compris
Bon déjà pour s, honnêtement, c'est une évidence géométrique, tout comme pour r d'ailleurs.
Maintenant si ton prof aime pinallier, alors écris . Ca devrait le suffir.
Utilise le post de Camélia pour la question d'après (évidence graphique aussi c'te question... ).
3) Tu as déja montré que .
Montre alors que <s,r> est de cardinal de 2n. Tu conclus puisque d'après la question précédente on a <s,r> qui est un sous-groupe de Dn.
4) On te demande de montrer qu'à partir de ces trois informations, tu as à la fois tous élements de G ainsi que sa table de multiplication (surtout ne la construis pas, c'est pas demandé).
Pour l'isomorphisme demandé c'est un peu une pétition de principe: Dn a été construit à partir de ces 3 seuls informations quasiment. L'isomorphisme est naturel ici.
5) Pour l'isomorphisme entre S3 et D3, tu peux le faire à la main. C'est assez simple (il n'y a "que" 6 éléments) donc les tables de mutiplication peut se faire à la main.
Sinon, le théorème de Cayle affirme que tout groupe d'ordre n est isomorphe à sous groupe de Sn, certes, mais Dn lui est d'ordre 2n...
Pour la question (2) c'est bon, merci de m'avoir aidé.
Par contre pour la question (3) je suis d'accord pour prouver que <s,r> est de cardinal 2n mais je ne vois pas comment le faire, en fait j'ai du mal à définir un sous groupe engendré lorsqu'il est engendré par plusieurs éléments...
Et il faut aussi prouver que <s,r>={ri, ris, 0in-1} ou cela provient directement de la definition du sous groupe engendré?
cette notion de sous groupe engendré n'est pas trés claire pour moi...
merci beaucoup
Non, il s'agit du plus petit groupe qui contient r et s. Il est clair que les 2n éléments dont on parle sont distincts et nécessairement dans le groupe engendré. Ce qui n'est pas clair, c'est que ça forme bien un groupe. On a vu que s2=Id et que r est d'ordre n, rn=Id. De plus, srs=r-1, d'où on déduit que srms=r-m
Il faut donc vérifier que c'est stable pour le produit:
risrjs=ri-js2=ri-j, donc c'est OK
De plus s-1=s, r-i=rn-i et (ris)-1=s-1r-i=sr-i=ris (tous ces éléments sont d'ordre 2)
Et voilà le travail...
Par définition .
Pour montrer que le cardinal est 2n, je pense qu'il faut voir que r est d'ordre n et s est d'ordre 2.
Ca s'apprend! mais ça vaut le coup de bien assimiler le groupe diédral qui est typique et pas trop compliqué!
Oh que oui c'est important de connaître le diédral. Surtout quand après on vous cause de groupe alterné, le dicyclique...
Pour 5): mais qu'est-ce que vous allez chercher? On a commencé par montrer qu'une isométrie qui conserve le polygône, transforme les sommets en sommets donc elle induit une permutation de l'ensemble cardinal n des sommets. Donc Dn se présente naturellement comme un sous-groupe de Sn.
Si n=3, les deux groupes sont d'ordre 6 donc égaux.
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