Bonjour, la relation etant totale, par définition pour tout couple x,y on a
D'où l'existence d'un max

Merci donc pour montrer que le magma (E, max)  est associative je travail avec ?

Merci pour l'orientation de l'existence de max{x ,y}  après cogito j'ai vu ce qu'il fallait faire suffisait juste de traduire xy et yz par max{max{x, y}, z} =max{y, z} =z
Et max{x, max{y, z}} =max{x, z} =z et on a l'associativité

   Si tu veux prouver que (x,y)   max(x,y) est une LCI  commutative   sur E , tu prends x , y , z dans  E , tu poses s = max(max(x,y) , z) , t = max(x , max(y,z)) et tu tr débrouilles pour montrer que s t  et t s .
Cela sans rien supposer sur x , y , z  .
Ou alors tu te farcis tous les cas possibles .

Ce n'est vraiment pas compliqué puisque  s majore max(x,y) et z  donc majore x , y et z donc majore x et max(y,z) donc aussi  max(x , max(y,z))  = t .
Et inversement ....

Rq : Plus généralement si   X est un ensemble ordonné  tel que  toute partie finie admette une borne supérieure alors (x,y) Spu{ , y} est une LCI associative sur X .
La preuve sera  semblable .

Merci