Niveau Licence Maths 1e ann

Groupe Général Linéaire GL(n,R) : espace tangent

Posté par
gatz 06-10-13 à 17:06

Bonjour,

Je dois démontrer que le Groupe Général Linéaire (défini ci-dessous) est une sous-variété de $\mathbb{R}^{n^2}$ de dimension $n^2$ et calculer son espace tangent en tout point.

Définition : $\mathrm{GL}(n,\mathbb{R}) = \left\{ A \in \mathbb{R}^{n\times n} \hspace{1mm} | \hspace{1mm} \mathrm{det}(A) \neq 0 \right\}$ .

Pour l'assertion, voici ce que je propose :

Proposition : $\mathrm{GL}(n,\mathbb{R})$ est une sous-variété de dimension $n^2$ de $\mathbb{R}^{n^2}$ .

Preuve : L'application déterminant $\mathrm{det} : \mathbb{R}^{n^2} \rightarrow \mathbb{R}$ est un polynôme en les entrées de la matrice $A \in \mathbb{R}^{n^2}$ . Il s'agit donc d'une application $C^\infty$ . Par ailleurs, nous avons clairement que $\mathrm{GL}(n,\mathbb{R}) = {\mathrm{det}}^{-1}(\mathbb{R} \backslash \{ 0 \})$ . Puisque l'application déterminant est continue, et que $\mathbb{R} \backslash \{ 0 \}$ est un ouvert, nous avons que $\mathrm{GL}(n,\mathbb{R})$ est un ouvert de $\mathbb{R}^{n^2}$ . Équipé de la carte $(U,\mathrm{Id}_U)$ , où $U = \mathrm{GL}(n,\mathbb{R})$ , il s'agit d'une sous-variété $C^\infty$ de $\mathbb{R}^{n^2}$ .

En ce qui concerne l'espace tangent $T_g \mathrm{GL}(n,\mathbb{R})$ , avec $g \in \mathrm{GL}(n,\mathbb{R})$ , je ne sais pas vraiment comment m'y prendre pour le calculer. Sauf erreur, $T_g \mathrm{GL}(n,\mathbb{R})$ peut-être identifié à $\mathbb{R}^{n^2}$ . Intuitivement, je comprends qu'il s'agit d'une conséquence du fait que $\mathrm{GL}(n,\mathbb{R}})$ est un sous-ensemble de $\mathbb{R}^{n^2}$ mais je ne vois pas comment le démontrer rigoureusement. :x

En vous remerciant d'avance pour votre aide,

Gatz'.

Posté par re : Groupe Général Linéaire GL(n,R) : espace tangent 06-10-13 à 17:15

Bonjour

Ce sont toujours les cas limite qui sont les plus troublants!
Soit $U$ un ouvert non vide de $\R^m$ et $a\in U$ . On prend pour définition de l'espace tangent au point $a$ , l'ensemble des vecteurs tangents à un chemin $C^1$ qui passe par $a$ . Soit $v\in\R^m$ . On pose $\gamma(t)=a+tv$ . Comme $U$ est un ouvert pour $t$ voisin de $0$ on est bien dans $U$ , on a $d\gamma_a(0)=v$ ... et le tour est joué!

(Beaucoup de bruit pour rien, mais ce n'est pas inutile de comprendre ces trucs une bonne fois pour toutes)

Posté par re : Groupe Général Linéaire GL(n,R) : espace tangent 06-10-13 à 19:54

Merci pour votre réponse.

Pour résumer (et voir si j'ai bien compris) : pour calculer l'espace tangent au point $g \in \mathrm{GL}(n,\mathbb{R})$ , on choisit un chemin (en réalité, un représentant d'une classe d'équivalence) $\gamma_g : (-1,1) \rightarrow \mathrm{GL}(n,\mathbb{R}) : t \mapsto \gamma_g(t)$ qui passe par $g$ en $t = 0$ . On peut choisir ce chemin comme $\gamma(t) = g + tv$ , où $v \in \mathbb{R}^{n^2}$ est une matrice quelconque. On calcule ensuite $d\gamma_g = v$ .

Puisque $\mathrm{det}(I + tA) = 1 + t \cdot \mathrm{tr}(A) + \mathcal{O}(t^2)$ , je suppose (par continuité du déterminant) que $\mathrm{det}(\gamma_g(t)) \neq 0$ , et donc $\gamma_g(t) \in \mathrm{GL}(n,\mathbb{R})$ , pour $t$ suffisamment proche de $0$ . Ça fonctionne pour $\gamma_I$ , mais pourquoi aussi pour $\gamma_g$ avec $g \in \mathrm{GL}(n,\mathbb{R})$ quelconque ?

* Peut-on définir $\gamma_g(t) = g + tv$ grâce au raisonnement ci-dessus (continuité du déterminant) ?

* Cela suffit-il à définir l'espace tangent en tout point de $\mathrm{GL}(n,\mathbb{R})$ ?

* La preuve de la proposition est-elle correcte ?

Merci d'avance !

Gatz'.

Posté par re : Groupe Général Linéaire GL(n,R) : espace tangent 07-10-13 à 14:28

Oui, tout est correct, mais je ne suis pas sure que ce soit complètement clair dans ton esprit... Je l'ai écrit exprès dans le cas le plus général, justement pour ne pas faire revenir les matrices, les déterminants et tutti quanti.

Tu as déjà prouvé en utilisant la continuité du déterminant que $GL_n(\R)$ est un ouvert. On n'a plus à y revenir.

Soient $g\in Gl_n(\R)$ et $v\in M_n(\R)$ . On pose $\gamma(t)=g+tv$ . Comme on est dans un ouvert, $g$ est centre d'une boule de rayon $r > 0$ contenue dans $GL_n(\R)$ . Donc pour $|t| < r$ , $\gamma(t)\in GL_n(\R)$ . Comme $d\gamma(0)=v$ , on vient de prouver que $v\in T_g(GL_n(\R))$ et $v$ est quelconque!

Posté par re : Groupe Général Linéaire GL(n,R) : espace tangent 07-10-13 à 18:25

J'étais passé au-dessus de la propriété des ouverts.

Merci pour ces précisions !

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