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groupe inversible pour arithmétique
Bonjour à tous,
J'aurais besoin, s'il vous plait, des talents de quelqu'un pour m'expliquer ce qu'est le groupe inversible...hélas,(3fois hélas!) google n'est pas performant sur le sujet, c'est à ce moment là que l'homme depasse la machine 
.
En fait je dois utiliser cela pour un exercice de mon Devoir maison..
j'ai p un nombre premier , on définit et soit q un nombre premier diviseur de
Je dois montrer que q-1 est un multiple de 2p. C'est un multiple de 2 ça c'est sûr, mais pour p c'est moins évident.
Or dans mes recherches sur google ça correspond très bien aux applications dans ce fameux groupe inversible, il faudrait montrer que le groupe inversible modulo q est de cardinal p mais pour cela j'aurai besoin de cette merveilleuse définition.
Merci pour votre aide et belle journée!
Bonjour Marie (ça faisait longtemps ! 
)
En fait, il me semble que ce que tu cherches est le groupe des inversibles de l'anneau (inversibles pour le produit).
Kaiser
P.S : alors, qu'est-ce que tu deviens depuis le temps ! (tu voudras bien excuser ma curiosité ! 
)
Kaiser
il faudrait montrer que le groupe inversible modulo q est de cardinal p
ça par contre, c'est faux !
Kaiser
bonjour Kaiser,
je suis rentrée à l'université Joseph Fourier à Grenoble, je suis le magistère de maths, fabuleux mais l'année s'annonce dure il faut garder le même rythme de travail qu'en prépa mais ça me plait beaucoup.
En faite dans les indications la prof nous dit qu'il faudra raisonner dans le groupe des inversibles modulo quelque chose qui va bien...
j'ai trouvé une application du groupe des inversible modulo d dans un site internet qui disait que si le cardinal de ce groupe était q alors pour tout élément de ce groupe k on avait = 1 modulo d... j'ai un peu traduit comme ça m'arrangeait mais je n'ai pas vu comment on caractérisait les éléments du groupe alors je me suis dit qu'il fallait mieux poser la question.
Je dois donc me mettre aux anneaux...
et toi que deviens tu ? toujours à vagabonder sur le forum pour aider les âmes désépérées ? Moi je n'ai pas le temps et surtout pas internet chez moi donc pas de possibilités pour aider mais ça me plairait énormément d'avoir un peu de temps pour ça, je trouve ça très enrichissant...surtout quand tu souhaites être prof tu apprends à voir les problèmes suivant différents aspects, à les expliquer de différents manières...
OK !
En fait, c'est plus des groupes que des anneaux : cette propriété que tu as vue sur Internet découle du théorème de Lagrange (le connais-tu ?).
Sinon, pour montrer ce que tu veux, il faudra s'intéresser aux ordres des éléments de ce groupe des inversibles (en particulier, celui de 2) et aussi aux propriétés de l'ordre d'un élément.
j'ai un peu traduit comme ça m'arrangeait mais je n'ai pas vu comment on caractérisait les éléments du groupe alors je me suis dit qu'il fallait mieux poser la question.
Comme q est premier, l'ensemble des éléments qui ne sont pas inversibles dans
)
Kaiser
et toi que deviens tu ? toujours à vagabonder sur le forum pour aider les âmes désépérées ?
Sinon, à part ça, cette année, je prépare le concours de l'agrégation externe de maths.
surtout quand tu souhaites être prof tu apprends à voir les problèmes suivant différents aspects, à les expliquer de différents manières...
ça, c'est pas faux.
Kaiser
P.S : en tous cas, bon courage pour tes études !
C'est un concours difficile, moi dans deux ans si tout se passe bien je serais à ta place: en train de préparer le concours. Bon courage! j'ai déjà fait la connaissance de quelques prépa agrég pendant les séminaires de maths, je suis très impressionnée par leur culture et leur aisance à l'oral..
revenons à notre magnifique problème
Je connais le théorème de Lagrange, je me doutais qu'il fait raisonner sur les ordres ma prof en est fan !
quelques théorèmes de prépa:
l'anneau Z/nZ est un corps si et seulement si n est un nombre premier.
Merveilleux théorème, comme q est premier , tout les éléments non nuls de Z/qZ sont inversibles (j'aime bien l'expression du minumum syndical)
C'est un concours difficile, moi dans deux ans si tout se passe bien je serais à ta place: en train de préparer le concours.
je te le souhaite !
Bon courage!
Merci !
Merveilleux théorème, comme q est premier , tout les éléments non nuls de Z/qZ sont inversibles
eh oui, donc on connait le cardinal des groupes des inversibles.
Ensuite, comment tu continues ?
(j'aime bien l'expression du minumum syndical)
Kaiser
oup's la faute! je me doutais qu'il fallait... j'ai honte là
Meuh non !
De toutes façons, je ne m'en suis même pas rendu compte !
Kaiser
y a t'il un lien avec l'indicatrice d'Euler ?
on note 
(n) = nombre d'éléments inversibles dans Z/qZ ici c'est q-1
pour tout élément x inversibles dans Z/qZ, on a ( ce qui d'ailleurs doit avoir un lien avec le théorème de Fermat)
y a t'il un lien avec l'indicatrice d'Euler ?
oui, dans le cas d'un nombre premier, il est facilement exprimable en fonction de q, ce que tu as fais ensuite.
( ce qui d'ailleurs doit avoir un lien avec le théorème de Fermat)
oui, c'est un généralisation de ce théorème connue sous le non de Théorème de Fermat-Euler.
leur ordre est inférieur ou égal à
(n)mieux que ça.
Kaiser
Je crois que je maitrise le truc
On sait que q est un diviseur premier de donc
est congru à 1 modulo p donc ça veut dire , d'après ce que j'ai écrit au dessus que p est un multiple de l'indicatrice d'euler soit q-1.
c'est ça non ?
dessus que p est un multiple de l'indicatrice d'euler soit q-1.
plutôt un diviseur, non ?
Sinon, il reste à dire autre chose pour aboutir à cette conclusion.
Kaiser
je dois filer je reviendrai plus tard peut etre...à tout à l'heure et merci pour cette aide...à bientôt!
Donc on se place dans le groupe inversible de l'anneau Z/qZ, comme q est premier ce groupe est de cardinal q-1 et d'après le théorème de Lagrande Ordre des éléments de ce groupe divise q-1
D'après les hypothèses de l'exercice on sait que est congru à 1 modulo q ( ça serait pratique d'utiliser la notation barre, mais en info je ne sais pas faire
)
donc dans le groupe inversible de l'anneau Z/qZ on est l'égalité
Il suffit de montrer que lo'dre de 2 est égal à q-1 et on aura p multiple de q-1, right?
ça serait pratique d'utiliser la notation barre, mais en info je ne sais pas faire
tout simplement \bar{}
Il suffit de montrer que lo'dre de 2 est égal à q-1
Il suffit, oui, mais ce n'est pas forcément vrai. D'ailleurs, si c'était vrai pour tout q, les mathématiciens seraient très contents : en effet,entre parenthèses, on sait que si q est premier, le groupe des inversibles modulo q est un groupe cyclique d'ordre q-1, mais il est cependant très difficile d'exhiber un générateur de ce groupe (c'est-à-dire un élément d'ordre q-1). On sait juste combien il y en a et c'est tout. Je referme la parenthèse.
on aura p multiple de q-1, right?
Wrong.
ça serait embêtant : p est premier.
Vu ce que l'on veut démontrer : il faudrait plutôt prouver que p est exactement l'ordre de 2.
Kaiser
ah oui pardon j'ai inversé p et et q-1, ses diviseurs et ses multiples me font tourner la tête.
J'ai bien aimé ta petite parenthèse, comment est on sur que c'est un groupe cyclique ? ( justement tu soulevais la difficulté d'exhiber (je reprends cette magnifique expression) un générateur)
Pour montrer que 2 est d'ordre p,ça c'est évident soit je suis à côté de la plaque...tentons quitte à être ridiculer à jamais...(il faut que tu t'habitudes aux aneries qu'écriront tes éléves)
si il existait un nombre p' inférieur à p tel que p' est l'ordre de 2 alors p' diviserait p , comme p est premier ses seuls diviseurs sont p et 1, 1 n'étant pas l'ordre de 2 alors c'est p donc p'=p.
Oui ?
J'ai bien aimé ta petite parenthèse, comment est on sur que c'est un groupe cyclique ?
Ce n'est pas évident comme résultat (ça ne tient pas en deux lignes), mais la démonstration n'est pas insurmontable.
Pour le montrer, il faut prouver les 3 points suivants :
1) pour tout n supérieur à 1,
2) si G est un groupe de cardinal n, on pose, pour d divisant n,
3) Avec les notations précédentes, Si n=p-1 et
4) conclus
si il existait un nombre p' inférieur à p tel que p' est l'ordre de 2 alors p' diviserait p , comme p est premier ses seuls diviseurs sont p et 1, 1 n'étant pas l'ordre de 2 alors c'est p donc p'=p.
Oui ?
yes !
Kaiser
Super, bon je vais maintenant aller me promener...après l'effort le reconfort.Merci pour ta précieuse aide
A bientôt j'espère, un jour il faudra quand même qu'on se rencontre ...non ?
et bon courage pour cette (dernière?) année de labeur ! (c'est parce qu'on aime ça au fond...)
Super, bon je vais maintenant aller me promener...après l'effort le reconfort.
Bonne promenade.
Merci pour ta précieuse aide
Mais je t'en prie !
A bientôt j'espère, un jour il faudra quand même qu'on se rencontre ...non ?
pourquoi pas !
et bon courage pour cette (dernière?) année de labeur !
merci mais ce n'est pas la dernière, loin de là : en gros, multiplie par 5 !
(derrière, j'ai encore mon année de M2 et 3 ans de thèse à faire ! 
)
c'est parce qu'on aime ça au fond...
oui
Kaiser
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