Bonjour,

tu peux rappeler la définition de groupe réticulé(j'ai déja entendu ce mot notamment pour le théorème de Stone-Weierstrass).

Est-ce que c'est en rapport avec les groupes ordonnables, un groupe est réticulé si toute partie à deux éléments admet une borne supérieure et inférieure?

Bonsoir Cauchy
Un ensemble réticulé et un ensemble ordonné dans lequel toute partie finie non vide a une borne supérieure et une borne inférieure.
Un produit de groupes totalement ordonnés serait un groupe réticulé, en
particulier ZxZ; Et là semble t il, "la seconde bissectrice"dans ZxZ ne serait pas un sous groupe réticulé. Non seulement je n'arrive pas à démontrer que ce n'est pas un groupe réticulé mais en plus je pense qu'on peut trouver plusieurs ordres dans une partie finie de ce sous groupe qui impliquerait dans éléments extrémaux.Je me trompe évidemment puisque c'est faux mais je n'arrive pas à trouver.S'il y a un ordre total dans ZxZ il doit bien y en avoir un dans la seconde bissectrice non?

Je me suis mal exprimé.Je voulais dire que étant donné un ordre partiel(mais pas total)dans ZxZ, l'ordre induit dans la seconde bissectrice ne pourrait il pas être total?

Bonjour Cauchy
Voilà ce que j'ai trouvé, dis moi stp si je me trompe.
Soit donc l'ordre sur ZxZ, (a;b)(c;d) si ac et bd
Toute partie finie F de ZxZ admet bien un majorant, le couple (supx;supy)sur F, majore tous les couples (x;y) de F et de plus c'est bien le plus petit.
Idem avec minorant donc ZxZ est bien réticulé.
Soit maintenant G = {(n;-n), n }, c'est bien un sous-groupe additif de ZxZ
Etant donnée une partie non vide I de G, on ne peut pas trouver une borne sup  dans G.En effet, sinon on aurait tout couple (x;-x) de I inférieur à la borne sup (m;-m). Ce qui voudrait dire xm et -x-m et donc x=m
Tous les couples sont donc majorants mais il n'y en a pas de plus petit.
Finalement I n'est pas réticulé.
Je pense qu'on peut maintenant munir G d'un autre ordre qui en fera un groupe réticulé indépendant mais on sort du cadre de l'exemple.Pourrais je avoir confirmation? Merci