Connais tu le théorème de Lagrange?

oui l'ordre d'un sous-groupe de G divise l'ordre de G. Les a1, a2 ou a3 sont des sous-groupes?

Non ce sont des éléments du groupe, mais vect{a1} est un sous groupe par exemple...

et comment on peut calculer a1xa2 par exemple...

S'il existe un élément d'ordre 4, on peut facilement voir que le groupe est isomorphe à Z4.

Supposons qu'il n'existe pas d'élément d'ordre 4, alors les éléments sont tous d'ordre 2 et 1 (théorème de Lagrange).
Le seul élément d'ordre 1 est le neutre e.
Les autres sont x,y,z.

xy est encore dans G par définition du groupe.
Tout élément étant d'ordre 2, x^2=y^2=z^2=e
De plus xy est forcément dans le groupe, et xy est différent du neutre, sinon y serait l'inverse de x et par unicité de l'inverse, on sait que x est déjà son propre inverse. On en déduit que x=y ce qui est impossible puisque les éléments sont distincts.
Supposons xy différent de z
Donc xy=x ou xy=y (les deux cas se traitent de la même manière, supposons alors xy=x)
dans ce cas en multipliant à gauche par x, on trouve xxy=xx=e et donc y=e ce qui est impossible.
Donc xy=z
Les 3 éléments x,y,z jouant des rôles symétriques, on a tout démontr, à savoir
xy=z=yx xz=y=zx et yz=zy=x
Notamment notre groupe est commutatif.
Finalement on a montré que tout groupe d'ordre 4 est commutatif.

D'une manière plus générale, pour la cutlure, tout groupe d'ordre p^n ou p est premier (on parle de p groupe) possède un sous groupe, appelé centre, qui est le groupe des éléments qui commutent, qui est toujours non réduit à {e}.