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Groupes anneaux et CoRPS
Bonjour s'il vous plait j'ai un exercice mais je ne sait comment démarrer depuis 3 semaines. Pourtant je connais mon cours!!
Jeter un coup d'oeil et donner moi des indications pour la résolution de mon problème (Surtout à partir de la 2e Question).
soit (G,+) un groupe abélien.
(on rappelle que m.a=a+a+a+....+a pour n appartenan a N-{0} et a dans G)
On suppose qu'il existe un entier naturel non nul n tel que n.a=0 pour tout a dans G. Soit p le plus petit entier non nul ayant cette propriété. On suppose que l'on peut écrire p=r.s, avec P.G.C.D(r,s) = 1.
On pose Gr={x € G/r.x=0}, Gs={ x € G/ s.x=0}
1)Prouver que Gr et Gs sont des sous groupes de G.
2) Montrer que l'intersection de Gr et Gs = {0}. (On pourra utiliser le théorème de Bezout).
3) Vérifier que pour tout x € G on a r.x €Gs.
4)Montrer que G = Gr + Gs ou Gr + Gs ={x € G/ il existe a € Gr, il existe b € Gs tel que x = a+b}
Merci pour votre Compréhension
bonjour
ton éxo se rapport au sg monogène qui cyliques s'ils sont finis. les questions se rapportent à des démos classiques (cours)
1) Gr sg de G
soit x et y deeux éléments de Gr
alors rx=0 et ry=0
r(x-y)=rx+r(-y)=rx-ry=0 donc x-y appartient à Gr et donc Gr est un sg de G
même démo pour Gs
2)soit x un élément commun à Gr et Gs alors rx=0 et sx=0
comme r er s sont premiers entre eux d'après le th de Besout il existent deux entiers relatif u et v tels que ur+vs=1
donc
x=1*x=(ur+vs)x=urx+vsx=u(rx)+v(sx)=0+0 donc x=0 et donc GrInterGs={0}
3) soit x un élément de G
on sait que px=0 donc srx=0
donc s(rx)=0 donc rx appartient à Gs
de m^me sx appartient à Gr
4) soit x un élément de G
d'après le th de Besout il existent deux entiers relatif u et v tels que ur+vs=1
donc
x=1.x=(ur+vs)x=u(rx)+v(sx)
d'après 3 on sait que rx appartient à Gs et sx appartient à Gr
comme Gr et Gs sont des sg de G donc stables donc
x'=u(rx) appartient à Gs et x"=v(sx) appartient à Gr donc
il existent x' de Gs et x" de Gr tels que x=x'+x"
donc G est inclus don Gs+Gr
comme Gs+gr inclu dans G
donc G=Gr+Gs
cette somme est en plus directe car GrinterGs={0}
cad que la décompsition est unique
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