{0} et /2 sont des groupes pour +.

Pour une loi sur un  ensemble fini (pas trop gros) on écrit la 'table' .

bonsoir,
un groupe peut avoir deux éléments E= {e,a}avec e élément neutre et a son propre symétrique  une seule structure pour un groupe à deux éléments et elle est abélienne

salut

prendre n éléments d'un ensemble à p éléments avec p < n signifie simplement qu'on a plusieurs fois le même et ne contredit pas lla règle d'associativité ...

soit E = {e} et T la loi interne alors forcément e T e = e

si T = + alors E = {0}
si T = * alors E = {1}

.... où + et * sont les opérations naturelles sur les nombres ....

veleda _{^{que je salue au passage}} t'a donné la réponse pour un ensemble à deux éléments ....

on peut remarquer que le neutre est toujours son propre symétrique ....

Bonjour,

Ce qu'il faut comprendre c'est que changer la loi de nom ne change pas la structure de groupe.

Par exemple  Z/2Z , +  , c'est la même chose que  {-1,1} , x .

heu mais avec x il faut un inverse non?

il y en a pas dans {-1,1}

Bonjour Tal.

Comme te le disais lolo, les noms ont peut d'importance. Ce qui importe c'est le schéma. La loi de composition dans un ensemble E est en quelque sorte (elle l'est en effet) une relation applicative de l'ensemble ExEE
La question posée de chercher combien de structures de groupe peut t-on assigner à l'ensemble E, revient à dire combien de schémas de groupe différents peut-on avoir. Le schémas est la représentation de la loi de groupe en tant que relation de ExE dans E. Ce n'est peut-être pas très clair tout ça. n'hésite pas à poser des questions.

{-1,1}, x
a pour schéma :
1 x 1 = 1
1 x -1 = -1
-1 x 1 = -1
-1 x -1 = 1
1 est l'élément neutre. -1 a pour inverse lui-même

et c'est le seul schéma (ou seule structure) de groupe possible pour un ensemble fini à deux éléments.

ok meri bien

On doit donc préciser l'élément neutre que l'on donne à notre ensemble

Pourquoi existe t-il groupe multiplicatif et groupe additif si ils sont identiques alors?

Merci beaucoup en tous cas

+ ou x c'est juste des noms. Mais attention ce n'est pas le fait quel est l'élement neutre qui fait la différence mais c'est le schéma.
ie le groupe {-1,1}, x que je viens de citer a la même structure que
les groupes
{a,b},
a a = a
a b = b
b a = b
b b = a

{a,b},
a a = b
a b = a
b a = a
b b = b

ok merci j'ai bien compris la

J'ai une autre question

démontrer que (Z,x,+) n'est pas un anneau

Mais pour moi c'en est un non?

Merci

(Z,+,*) est un anneau mais pas (Z,*,+) ....

la deuxième loi est distributive par rapport à la première dans un anneau ....

et cela (au moins) est contredit ...


pour le groupe à deux éléments regarde comment j'ai noté la loi :: T (aucune représentation symbolique comme + ou *) et la structure donnée par véléda ::

e T e = e
e T a = a = a T e
a T a = e


si tu identifies T à + alors on reconnait Z/2Z
si tu identifies T à * alors on reconnait ({1,-1},*)

mais tu vois bien que j'ai identifier ces deux opérations par la même lettre T ....

donc parler de groupes additif ou multiplicatif on s'en fout mais par cohérence avec les mathématiques des nombres si tu prends T = + alors le neutre e est 0 et si tu prends T = * alors le neutre est 1 puisque ce sont naturellement les neutres de ces opérations


dernière remarque de vocabulaire :: si a est un élément d'un groupe de neutre e et si b est un élément tel que a T b = e alors on dit que b est (un) inverse de a (à droite) et cet inverse est (appelé) l'opposé lorsque T = + ....

pardon pour les deux fautes d'orthographe ....

En me relisant, je ne suis plus sûr de moi. La question est pour moi en effet ambiguë. A savoir, doit-on considérer 2 structures isomorphes d'un même ensemble comme étant identiques et à ne compter qu'une seule fois (au sens de la question de l'énoncé) même si dans chacune des deux structures, un même élément peut avoir un rôle différent (l'isomorphisme entre les 2 structures est différent de l'identité)

En fait  deux ensembles ont la même structure de groupe signifie  :  il y a un isomorphisme de groupe entre les 2 .

Donc en résumé :

Groupe à 1 élément :  un seul à isomorphisme près  (mais on peut inventer une infinité de groupes différents suivant l'endroit où on considère l'élément neutre)

Groupes à 2 élements ; idem 1 seul .

Groupes à  3 éléments  idem , plus généralement si  p  est un nombre premier il n'y a qu'un groupe de cardinal  p .

Groues à 4 éléments tu dois en trouver 2.

dzikuje bardzo* lolo

* merci beaucoup