Salut, pour la première il suffit de trouver une réciproque à ta translation.

erreur de manup

Citation :


Pour tout le problème, désigne un groupe quelconque, non nécessairement commutatif. e désigne le neutre de G.

1- Soit un élément fixé de G. Montrer que l'application est une bijection.

2- On suppose que G est de cardinal fini, et on introduit H un sous-groupe de G tel que .
Le but de cette question est de montrer que H=G. On suppose qu'il existe .

(a) Que peut-on dire de ?
(b) On déduite que est non vide. Montrer que cela conduit à une contradiction.
(c) Conclure

3- Soit g un morphisme du groupe G dans lui-même. Redémontrer les questions de cours suivantes :
(a) g (e) = e
(b)

4- Soit un morphisme du groupe G dans lui-même et . On pose .

(a) Montrer que H est un sous-groupe de G.
(b) Montrer que
(c) On suppose que . A l'aide la question 2, montrer que

mais à quelle question tu bloques?

Salut romu

l'application réciproque sera: , On a: fof^-1=id_G et f^-1of=Id_G

donc elle est bijective d'application réciproque f^-1

après?

la question 1, avec les hypothèses de la question 2 te permette de dire des choses pour la (a)

bon fx0 elle est bijective, donc fx0(H)=H, donc card(fx0(H))>1/2card(G). C'est tout?

oui oui

a priori tu peux passer à la question b)

pour (b) c'est clair, mais pour l'exprimer....

on a le card de H et de f(H) qui sont plus grand que la moitié du card de G

Or H et f(H) sont tous deux inclus dans G et de card > 1/2 card(G) donc ils auront nécessairement au moins un élt en commun

oui en fait comme G est fini, H et f(H) aussi,


donc

ie

D'où .

Pour la contradiction je cherche

pardon remplacer "" par .

Je pense qu'il faut utilise une des deux relations d'équivalences du type



ou




(ce ne sont pas les memes, il faut choisir celle qui correspond à notre translation)

après,

fx0(H)=cl(x0)

H=cl(e)

e n'est pas équivalent à x0 par hypothèse, car (ou ) n'est pas dans H.
Leurs classes respectives sont disjointes, d'où la contradiction.

pour (b) j'ai pas compris pourquoi c'est <0 à la fin

c'est parce que quand je tape en latex, il m'arrive souvent de confondre "geq" et "leq" (je sais pas pourquoi   )

comme je te disais àà 12:44, ce n'est pas qu'il faut lire, mais bien .

au temps pour moi

je pense que je dois conclure que H=G

je pense qu'on a tout x0 qui appartient à G il appartient alors à H
Or H est dans G donc H=G c'est vrai?

On passe à la question 4)

Bon a) et b) sont immédiats


pour la c)?

et .

Qu'en est-il du cardinal de , étant donné la question 2) ?

Après il sera très facile vu la définition de , d'en déduire que:

.

ben card(H) est aussi >1/2 card(G) mais après?

Donc la question 2) nous dit qu'on alors , non?

Regarde bien la définition de H, c'est la même chose que dire:

.

non mais je suis bête

Merci romu

_{Stp, si t'as un problème sur les anneaux factoriels à m'envoyer ...}

haha, pourquoi spécialement les anneaux factoriels ?

je ne sais même pas ce que c'est.

par exemple l'anneau Z[i] ce sont les élts qui s'écrivent a+ib avec a et b de Z...  Z[rac2]..

romu >> Pour simplifier, un anneau est dit factoriel quand tout élément peut se décomposer comme produit d'élément irréductible de l'anneau. Typiquement, Z en est un. La définition est un peu plus subtil mais l'idée c'est justement l'existence de la décomposition en élément irréductible. Si tu veux la "vrai" définition, je peux toujours de la donner.

ah oui d'accord je vois sur les notions de réductibilité.

Non on s'attarde pas vraiment dessus, je ne crois pas avoir des exos de tds dessus.
Plutôt sur les polynômes.

>Ayoub Même dans une discussion peu formelle, il est essentiel de souligner que dans un anneau factoriel tout produit se décompose de manière "unique" en produit d'irreductibles. Dans la plupart des contrexemples, la décomposition existe bien, mais n'est pas unique!

salut ayoub,

oui je viens de voir sur wikipedia, il y a aussi l'unicité de cette décomposition qui est à prendre en compte, d'après ce qu'ils disent.

Bonjour Camélia

monrow >> Tu connais les anneaux euclidiens? Non parce que sinon, tu peux montrer que tout anneau euclidien est factoriel (car principal).

Autre exo: Soit k un corps (qu'on pourra supposer commutatif ou pas). Montre alors que k[X] est principal et donc factoriel.

Et si tu ne le sais toujours pas, démontre que tout anneau principal est factoriel (particulièrement dur quand on connaît la stûûûce).

Camélia >> Salut. Ah oui zut c'est vrai, autant pour moi. Je vois pas comment j'ai pu oublier ça.

Tes exos ont été enregistrés Ayoub, je vais essayer de les faire à l'internant

Pour le moment je viens de trouver un exo où on traite les anneaux factoriels depuis leurs acines

Je vais le poster surtout pour bénéficier des connaissances de nos "algébristes" (Camélia, romu, toi...)