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Groupes finis et cardinaux

Posté par
xtasx 09-08-07 à 05:07

Bonjour à tous,

Je cherche à démontrer ce résultat :

Soit (G,o) un groupe fini et soient H et K deux sous groupes de G.
On note HoK l'ensemble des xoy, x \in H, y \in K \text{ ) }

Alors,

3$|HoK|=\frac{|H||K|}{|H\cap K|}

Pourriez vous m'aider svp ?

Merci beaucoup,

++

xtasx

Posté par
charlynoodlesre : Groupes finis et cardinaux 09-08-07 à 11:29

Le groupe est supposé commutatif ?

Posté par
kaiser Moderateurre : Groupes finis et cardinaux 09-08-07 à 12:41

Bonjour à tous

charlynoodles > le résultat est vrai que le groupe soit commutatif ou pas.

xtasx >

indication :
pour a dans HoK, on pose \Large{C_{a}=\{(x,y)\in H\times K / xoy=a\}}.

Pour a un élément quelconque de HoK, commence par montrer que \Large{Card(C_{a})=Card(C_{e})} (où e est élément neutre de G).(remarque : e est bien un élément de HoK).
Ensuite, montre que \Large{Card(C_{e})=card(H\bigcap K)}.

Kaiser

Posté par
charlynoodlesre : Groupes finis et cardinaux 09-08-07 à 13:41

D'accord kaiser

je n'ai pas eu l'initiative de prendre un élement "a" et de considerer l'ensemble Ca

J'ai pensé au théoreme de factorisation

J'ai demandé l'hypothese commutatif pour avoir que H°K  soit un sous groupe de G

Mici

Posté par
kaiser Moderateurre : Groupes finis et cardinaux 09-08-07 à 14:10

Citation :
J'ai pensé au théoreme de factorisation


Cette relation m'avait aussi fait penser au théorème de factorisation.

Citation :

J'ai demandé l'hypothese commutatif pour avoir que H°K soit un sous groupe de G


juste une remarque en passant :

en fait l'hypothèse, disons "minimale", est que H ou K est distingué dans G.

Kaiser

Posté par
kaiser Moderateurre : Groupes finis et cardinaux 09-08-07 à 14:22

Citation :
J'ai pensé au théoreme de factorisation


En fait, je crois qu'on peut effectivement utiliser ça.
En effet, même si HoK n'est pas un groupe, on peut quand même le relier naturellement à un groupe qui est son groupe des permutations.
En fait, l'idée général tourne autour d'une action du groupe \Large{H\times K} sur l'ensemble HoK. On sait que cette action est entièrement déterminé par la donnée d'un morphisme de groupes de \Large{H\times K} dans le groupe des permutations de HoK donc on pourra utiliser le théorème de factorisation. Reste à trouver ce morphisme.

Kaiser

Posté par
charlynoodlesre : Groupes finis et cardinaux 09-08-07 à 23:41

Lool exactement : oui , ça sentait l'action de groupes

Charly

Posté par
xtasxre : Groupes finis et cardinaux 10-08-07 à 01:58

Merci Kaiser, je m'y mets de suite !

Effectivement charlynoodles, le résultat est vrai tout le temps, la seule différence est, comme tu l'as dit, que HoK est un groupe si G est communatif.

Posté par
xtasxre : Groupes finis et cardinaux 10-08-07 à 02:16

Bon je ne suis pas sur de moi du tout :

Pour le premier point :

\text{Montrons que : \\ }|C_{a}|=|C_{e}| \\ \\ \\ \\ (x,y)\in C_{a} \\ <=> xoy = a \\ <=> e = y^{-1}ox^{-1}oa \\ <=> e = (a^{-1}ox)oy \\ <=> (a^{-1}ox,y)\in C_{e} \\

Et comme a est inversible (puisque G est un groupe), on en déduit :

3$\forall a\in G,|C_{a}|=|C_{e}|

C'est bon jusque là ?

Posté par
xtasxre : Groupes finis et cardinaux 10-08-07 à 02:30

Et voilà la suite :

3$C_{e} = [(x,y)\in H,K, xoy = e] \\ \forall (x,y)\in C_{e}, y = x^{-1}, \\ => C_{e} = [(x,x^{-1})\in H,K] \\ => |C_{e}| = |H\cap K|

où "[...]" remplace "{...}" pour les ensembles et H,K remplace HxK (je n'ai pas réussi à écrire cela en LATEX ).

Posté par
xtasxre : Groupes finis et cardinaux 10-08-07 à 03:00

Et quand même la conclusion :

2$|[(x,y)\in H,K, xoy = a]| = |H\cap K| = A

Donc dans le produit |H||K| on "compte A fois" chaque élément, d'où :

4$\frac{|H||K|}{|H\cap K|} = |HoK|

C'est bon tout ça ?

Merci Kaiser en tout cas !

Posté par
kaiser Moderateurre : Groupes finis et cardinaux 10-08-07 à 10:27

Pour le message de 2h16 :

l'idée est là mais \Large{(a^{-1}x,y)} n'est pas nécessairement dans \Large{C_{e}} car \Large{a^{-1}x} n'est pas forcément dans H (a est dans HK).

Pour le message de 2h30 :

Je n'ai pas très bien saisi lorsque tu écris \Large{C_{e}=\{(x,x^{-1}),x\in H\times K\}} ( pour obtenir \Large{\times} en \LaTeX on écrit \times)

Il faudrait en fait montrer que \Large{C_{e}=\{(x,x^{-1}),x\in H\bigcap K\}}

Pour la conclusion :

c'est correct.
Pour être encore plus convaincu, tu peux remarquer que

\Large{H\times K=\bigcup_{a\in HoK}C_{a}}

(l'union étant disjointe).

Kaiser

Posté par
xtasxre : Groupes finis et cardinaux 11-08-07 à 00:50

Pour le premier point, oui je vois le problème... Je vais refaire ça.

Pour le second point, j'ai effectivement passé une ou deux étapes pour aller plus vite, mais en utilisant la structure de groupe de H et K, on montre que :
(x,x-1) dans HxK => x est dans l'intersection de H et K.

Pour le dernier point, effectivement c'est plus clair de la façon dont tu le présentes.

Merci

Posté par
kaiser Moderateurre : Groupes finis et cardinaux 11-08-07 à 00:57

OK !

Kaiser


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