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Groupes isomorphes
Bonjour,
je coince sur un petit exercice d'annales :
Montrer que deux groupes quelconques à 3 éléments sont isomorphes au groupe additif
Montrer que tout groupe F d'ordre 4 est isomorphe au groupe additif ou au groupe produit
.
Donner un exemple d'un groupe d'ordre 6 non abélien.
Soit (G,.) et (G',*) deux groupes quelconques à 3 éléments.
Il faut montrer qu'il existe un isomorphisme de groupe entre (G,.) et (,+) ?
Je pense que le fait qu'il y ait trois éléments a son importance mais laquelle ?
re H_aldnoer
Pour la première question, on aurait la même chose si l'on avait remplacé 3 par n'importe quel nombre premier p.
Kaiser
En gros, ici, on te demande de montrer qu'un groupe à 3 éléments est cyclique.
Autrement dit, qu'un tel groupe possède un élément d'ordre 3.
A ton avis pourquoi ?
Kaiser
à la main :
Si est un groupe à trois éléments de neutre
alors nécéssairement
et l'application
est alors clairement un isomorphisme de groupes
Bonsoir tout le monde,
H_aldnoer, on veut montrer qu'un groupe de 3 éléments esy cyclique, un groupe de 3 éléments cycliques...cela revient à montrer qu'il existe un élément d'ordre3...cyclique si tu prend un élément et que tu le "met dans ton cycle" tu lui fais faire trois tour tu retombe forcément sur lui.
On sait que :
un groupe cyclique d'ordre n est isomorphe à
Il faut donc montrer que ce groupe G de 3 éléments est cyclique d'ordre 3 ?
Salut Kaiser,
oui mais si on voit pas l'isomorphisme de groupe?! je pense que c'est ce que H veut savoir
Ok mais si ça avait était
En utilisant :
un groupe cyclique d'ordre n est isomorphe à
que faut-il faire ?
OK !
dans ce cas, en reprenant les notations d'elhor, on a ab=ba=e
du coup, on a nécessairement a²=b donc
or a n'est ni d'ordre 1, ni d'ordre 2 donc a est d'ordre 3.
Kaiser
dans ce cas, il faut exhiber un élément d'ordre 36 mais je ne te cacher pas que c'est pas évident.
ici, on est dans un cas simple car on a un groupe de petit cardinal.
Kaiser
Comme c'est un groupe, ab ne peut valoir que e, a ou b.
si ab=a, alors en multipliant par l'inverse de a à gauche (il existe car on aun groupe), alors cela donnerait b=e ce qui est absurde, donc ab est différent de a.
De même, ab est différent de b.
donc ab=e.
Kaiser
déjà, on ne peut pas avoir a²=a car cela donne a=e (en multipliant par l'inverse de a)
si a²=e, alors en multipliant par b, on aurait a²b=b donc a(ab)=b
or ab=e donc a=b ce qui est absurde.
Kaiser
ok, ça c'est fait.
Donc dans un groupe à trois éléments tout élément ne peut valoir que l'un de ces trois éléments, c'est ce que tu utilises kaiser ?
Salut à tous,
je m'incruste:
dans ce cas, il faut exhiber un élément d'ordre 36 mais je ne te cacher pas que c'est pas évident.
pour quel groupe?
ok d'accord Kaiser,merci.
(ne t'inquiete pas je pense aussi à mes séries
)
je suppose que pour l'ordre 4 c'est du meme type, mais pour le groupe produit?!
J'utilise simplement le fait que dans un groupe G, un produit d'éléments de G est un élément de G.
(si c'est bien ce que tu me demandes).
Kaiser
moi j'attend une indication pour le groupe multiplicatif lol aprés je vais pieuter, je reviendrais demain soir.
ok bah encore un truc ou je vais lutter pour comprendre!
Bon je verrais ça plus tard,la je suis crevé...j'ai passé une dure journée,merci à vous deux et aux autres aussi.
je vous laisse H_aldnoer pour tout à l'heure,moi je vous dis à demain!
Additif Cauchy !
Si est un groupe à quatre éléments de neutre
alors
cas sont possibles :
ou
en dressant la table de chaque cas on voit facilement que
est isomprphe à
dans le premier et à
dans le second (sauf erreur)
Elhor je posais la question pour le fait de trouver un générateur de Z/36Z si on causait de (Z/36Z,+) il suffit de prendre 1 c'est pour ca que je comprenais pas ce que voulait dire kaiser.
)Cauchy > en fait, c'était pour répondre à H_aldnoer lorsqu'il me demandait (enfin je pense que c'est ce qu'il voulait me demander) la marche à suivre lorsque l'on voulait montrer qu'un groupe était isomorphe à .
Kaiser
comment qu'on fait ??
on a trouvé un élément qui est d'ordre 3 et le cardinal de G est 3, ça a son importance ?
donc c'est fini !
si un groupe de cardinal n possède un élément d'ordre n, alors ce groupe est cyclique d'ordre n.
Kaiser
Bonjour,
Je me permets de poser une question : est ce que tout groupe d'ordre 3 est isomorphe à Z/3Z ?
Bonjour
Kaiser étant déconnecté...
la démo est compliqué
si c'est celle de
si un groupe de cardinal n possède un élément d'ordre n, alors ce groupe est cyclique d'ordre n.
elle n'est pas compliquée, me semble-t-il:
Soit a l'element d'ordre n, les puissances de a sont des elements du groupe.
On a donc trouvé n elements différents dans un groupe de cardinal n: ce sont TOUS les elements du groupe. Qui est donc composé des ak, donc cyclique.
Non?
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