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GVAE équations d'une droite

Posté par
alpha20020 15-06-06 à 11:08

Bon, voilà, j'ai une petite question sur qqch que je risque de devoir présenter à l'oral, dépendra de ce que voudra la déesse fortuna...

En gros, il s'agit d'expliquer les diverses équations d'une droite...

M\in d\Longleftrightarrow\vec{AM}\text{ et } \vec{d}\text{ sont colinéaires } \\ \Longleftrightarrow\exists\lambda\in\subset\mathbb{R}\text{, tel que }\vec{AM}=\lambda\vec{d} \\ \Longleftrightarrow\vec{AM}=\lambda\vec{d} \\ \Longleftrightarrow\vec{OA}+\vec{AM}=\vec{OA}+\lambda\vec{d}\Longleftrightarrow\vec{OM}=\vec{OA}+\lambda\vec{d}
\text{ (équation vectorielle d'une droite) } \\ {\Longleftrightarrow\left{\array{x={a_1}+\lambda\vec{d_1}\\ y={a_2}+\lambda\vec{d_2}\\ z={a_3}+\lambda\vec{d_3}}
\text{ (équations paramétriques) }

\Longleftrightarrow \frac{x-{a_1}}{d_1}=\frac{y-{a_2}}{d_2}=\frac{z-{a_2}}{d_2} \\ \text{ (équation cartésienne)

Selon moi l'équation paramétrique est la plus pratique de toute, mais si le prof et son expert m'interroge sur l'utilité des deux autres(en particulier la cartésienne, que dois je répondre? (Je fais surement erreur, mais la cartésienne est utile pour vérifier si un point appartient à la droite, est-ce tout?)

Voilà c'est un détail, mais dans mes feuilles de révision, c'est pas mentionné et comme je dois tendre vers le résultat maximal, je préfère rien laisser passer...

Euh, et pendant que j'y suis, pour ne pas tomber dans le multiposting, quand on regarder la formule pour calculer la distance d'un point à un plan, l'on a :
\frac{|\vec{AP}.\vec{n}|}{||\vec{AP}||.||\vec{n}||} Ma question se rapporte au valeur absolue, comment les justifie-t-on? Est ce juste de dire que suivant le sens de\vec{n}, l'on aboutit à deux cas.

\left{\array {\text { premier cas : }} \vec{AP}.\vec{n}>0 \Longrightarrow 0°\le\phi<90° \\ \\ \text {deuxième cas : } \vec{AP}.\vec{n}<0 \Longrightarrow 90°<\phi\le180°}
Est-ce que les signes < > et autres sont égaux... Parce que sur la feuille de résumé que je mets en annexe pour vous aider à saisir de quel \phi il s'agit, j'ai pas les mêmes signes, et sur la feuille de résumé de la classe, j'ai encore autre chose, mais mon raisonnement d'aujourd'hui me semble le plus correct. En effet si phi est égal a 90° le point P appartient au plan, donc la distance est de 0, non?

rem: le [?] autour du phi revient à un ° que je en sais pas écrire en latex, pourtant il devrait être à l'aise avec les trous...

Donc, si vous pourriez éclairer ma petite lanterne, ca serait un immense plaisir Et bien entendu merci d'avance.

Annexe : croquis, peu joli...

ps. Pour cette ****erie de latex, vous savez comment on met les accents aigus graves etc( p.ex è, etc.)? Ou bien comment on fait une mise en page sur la même ligne avec l'équationa  gauche et la parenthèse qui dit quelle type d'équation c'est sur la droite? Et comment on ferme le système, sans devoir fermer les balises [ / tex ] et recommencer plus bas? Y a pas des programmes qui font comme microsoft équation mais en écrivant en latex, par hasard? Et pour des normes ? Et le produit scalaire?

pps. Désolé, si mon ton à l'air un peu sec, maix une alarme windows(mises à jour a la noix!), m'a fait perdre la page sur laquelle j'avais déja tout tapé le latex... Donc j'ai du me dépecher pour retaper le tout...


GVAE équations d\'une droite

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : GVAE équations d'une droite 15-06-06 à 11:15

Bonjour,

Pour la distance d'un point à un plan, la valeur absolue apparaît naturellement et rigoureusement au cours de la démonstration.
Suivant les méthodes, quelque chose comme :
3$||\vec{AH}||=\frac{|\vec{n}.\vec{AH}|}{||\vec{n}||}=\frac{|\vec{n}.\lambda\vec{n}|}{||\vec{n}||}=|\lambda |\cdot||\vec{n}||=...
ou bien :
\delta=\sqrt{\frac{\left(ax_A+by_A+cz_A+d\right)^2}{a^2+b^2+c^2}}=\frac{\left|ax_A+by_A+cz_A+d\right|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}

Nicolas

Posté par
Tigweg Correcteurre : GVAE équations d'une droite 15-06-06 à 11:49

Salut,

je réponds succinctement à diverses questions :

*d'abord au début, si d flèche est un vecteur directeur de la droite d, il faut enlever les flèches dur d1, d2 et d3 qui ne sont que ses coordonnées (donc des reels)

*ensuite tes équations paramétriques sont justes et permettent de visualiser directement les coordonnees d'un point de d et celles d'un vecteur directeur.
Les equations cartesiennes d'une droite servent non seulement à vérifier qu'un point lui appartient ou pas, mais aussi, selon les cas, à determiner l'equation de l'intersection de deux ensembles de R^3(dans d'autres cas, les equations param. sont plus maniables) .
Presque par dédinition, ainsi, les équations cartesiennes d'une droite sont les equations cartesiennes de deux plans se coupant precisement selon cette droite.On determine de plus alors par cette methode un vecteur normal à chacun de ces plans, donc l'orthogonal dans R3 de ette droite (c'est le SEV de dim 2 engendré par ces deux vecteurs normaux) Remarque qu'alors, tu retrouves un vecteur directeur de d en faisant le produit vectoriel des deux vecteurs normaux, ce qui te renvoie sur les equations parametriques..En fait tu vois qu'on peut jongler entre les differents types d'equations dans R3.Je ne pense pas que l'un des types soit definitivement plus avantageux que l'autre.
Je vois aussi l'interprétation des équations cartesiennes en tant que noyau d'une application linéaire, dans les problèmes matriciels par exemple.
Ainsi la droite d'équations 3x+2y+z = 0 et x+z+2=0
est l'epace affine passant par le point de cordonnees (0;1;-2)et de direction le noyau de l'application lineaire ayant pour matrice dans la base canonique
3 2 1
1 0 1
8 0 8
par exemple, ou de toute matrice (de rang 2) equivalente à celle-ci

*Pour ce qui est de la distance d'un point à une droite, je ne vois pas ce que tu appelles H, et c'est la distance du point P au plan que tu cherches??
Tes notations ne sont pas tres claires.
Enfin ta discussion de l'angle phi selon le signe du produit scalaire est juste.

Voilà, à plus!
Tigweg

Posté par
Tigweg Correcteurre : GVAE équations d'une droite 15-06-06 à 12:04

Si c'est le cas, je ne comprends pas le calcul de Nicolas75, car alors le produit scnlaire n.AH vaut 0 et pas norme de AH (sauf s'ils son confondus, mais dans ce cas la distance s'obtient immediatement)

En fait en projetant AP sur la direction orthogonale au plan on obtient :
AP.n = HP.n (je n'ai pas de fleches)
Comme HP et n sont colineaires, ceci est egal à + ou - le produit des normes de HP et de n.
C'est pourquoi les valeurs absolues te debarrassent de ce signe.
Alors:
|AP.n| = |HP.n| (en mettant des fleches) =( norme de n). HP (sans fleches)

Or HP est la distance cherchée, elle vaut donc |AP.n|/ (norme de n)
Tu as les coordonnees de P , et si tu as l'equatioon de P, tu choisis A au pif et tu determines les coordonnees d'un vecteur normal n, puis tu calcules AP.n et enfin tu appliques cette formule.Voilà, bonnes revisions!

Tigweg

Posté par
Tigweg Correcteurre : GVAE équations d'une droite 15-06-06 à 12:06

Pardon j'ai employé le meme nom pour le point P et le plan, tu corrigeras...

Posté par
Tigweg Correcteurre : GVAE équations d'une droite 15-06-06 à 12:07

Derniere chose: tu choisis A au pid DANS le plan , ca va de soi!

Posté par
Tigweg Correcteurre : GVAE équations d'une droite 15-06-06 à 12:08

pif*..J'vais y arriver!!

Posté par
alpha20020re : GVAE équations d'une droite 15-06-06 à 12:09

Merci beaucoup.

Peut-être encore l'une ou l'autre précisions...

Je pense qu'à l'oral je vais me limiter à dire que l'équation cartésienne sert à vérifier si un point appartient à la droite...

Ensuite, pour la dédinition, SEV et cie, je pense pas qu'on aie, vu que j'en ai jamais entendu parler... Pareil pour le produit matriciel... Et ça m'a l'air assez complexe...

Ensuite pour la distance d'un point à un plan, je ne parle pas de H, et c'est effectivement la distance du point P au plan que je recherche, donc je vais chercher la valeur de cos(phi) que l'on peut trouver de deux manières :
cos(phi)=(|n.AP|)/||n||.||AP||
cos(phi)=distance( de P à pi)/||AP||

J'isole, le distance de P a pi et ca me donne après simplifications la formule que j'ai cité plus haut sans les valeurs absolues (AP.n)/||n||

Et c'est là que je pose le -n qui amène la discussion au sujet de cet angle,  et me permets de mettre les valeurs absolues, car que ce soit négatif ou positif, la distance est positive.(?)

Après on pose P(x_0;y_0;z_0) et on aboutit à la formule avec l'équation cartésienne du plan et osn vecteur normal en dessous...

Posté par
alpha20020re : GVAE équations d'une droite 15-06-06 à 12:10

Scuse, moi j'avais pas mis rafraichir... Pourtant avec la température ...

Y a juste le passage à la valeur absolue qui est scabreux, sinon le reste m'a l'air en ordre, hormi le fiat que je privilégie la solution de facilité, en ne cherchant pas a comprendre plus loin les matrices et autres éléments, non encore vus...

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : GVAE équations d'une droite 15-06-06 à 12:21

Pour information, voici un calcul de la distance d'un point à une droite dans le plan qui ne fait pas intervenir de discussion sur un angle phi. C'est immédiatement adaptable à la distance entre un point et un plan dans l'espace.

Soit 3$\mathscr{D} la droite d'équation 3$ax+by+c=0 avec (a,b)\not =(0,0).
Soit 3$\vec{n}=\left({\begin{array}{c}a\\b\end{array}}\right) un vecteur normal à la droite.
Soit 3$A\;\left|{\begin{array}{c}x_A\\y_A\end{array}}\right. un point du plan.
Soit 3$H son projeté orthogonal sur la droite.

3$\vec{AH} est colinéaire à 3$\vec{n} donc il existe 3$\lambda\in\mathbb{R} tel que 3$\vec{AH}=\lambda\vec{n}=\lambda\left({a\\b}\right)
donc :
3$\{{x_H=x_A+\lambda a\\y_H=y_A+\lambda b}
Or 3$H est sur la droite, donc :
3$ax_H+by_H+c=0
3$ax_A+by_A+c=-\lambda(a^2+b^2)
3$\lambda=-\frac{ax_A+by_A+c}{a^2+b^2}

Enfin,
3$||\vec{AH}||=\frac{|\vec{n}.\vec{AH}|}{||\vec{n}||}=\frac{|\vec{n}.\lambda\vec{n}|}{||\vec{n}||}=|\lambda |\cdot||\vec{n}||=\frac{\left|ax_A+by_A+c\right|}{\sqrt{a^2+b^2}}

Sauf erreur.

Nicolas

Posté par
Tigweg Correcteurre : GVAE équations d'une droite 15-06-06 à 12:22

En faitje crois comprendre qu'on te donne phi, c'est ca?
Dans ce cas ta formule est fausse: distance de P à Pi = ||AP|| |cos(phi)|
et il faut les valeurs absolues autour du cos, car il se peut qu'il soit négatif justement!
En fait si tu les enlèves , il faut aussi le faire autour du produit scalaire n.AP

Par ailleurs tu es en quelle section et quelle année, et quel est ton examen?
Si tu n'as pas vu les matrices, ne cherche pas à comprendre ce que j'ai marqué à ce sujet bien sur! Quant à la "dédinition", je voulais dire définition, mort de rire!! ^^

Posté par
alpha20020re : GVAE équations d'une droite 15-06-06 à 12:35

Non, phi ne m'est pas donné, j'ai juste le point A et le vecteur normal à ce dernier, et le point P. Donc je peux calculer le vecteur AP et avec la formule d'un angle entre deux droites, et le fait que l'on a un triangle rectanble, j'arrive à trouver deux calculs qui me donneront cos(phi), De la je pose le premier calcul = second calcul et le tour est joué.

Nicolas, ta démonstration pour qu'elle soit applicable dans l'espace, je dois rajouter un c et un z, non?

Suis en latin-grec(), en maturité gymnasiale, les équivalences sur ce site ne sont pas très claires... Et comme je l'avais déjà dit une fois, en Suisse, chaque canton fait sa petite cuisine au niveau éducatif, donc... Et l'examen sera un oral de 15 minutes, avec 15 minutes de préparation, on a 28 questions(analyse, proba et gvae) que l on devra présenter, et un exercice à résoudre...

Posté par
Tigweg Correcteurre : GVAE équations d'une droite 15-06-06 à 12:37

Ok

En fait applique la méthode de Nicolas (en rajoutant c et z en effet) ou la mienne dans mon post de 12h04 qui t'explique le raisons pour lesquelles ca marche.
Le calcul de cos phi est vraiment inutile (sauf si on te le demande!) et est plutot source d'erreurs!

Posté par
Tigweg Correcteurre : GVAE équations d'une droite 15-06-06 à 12:40

(C'est la même méthode bien sur, mais je n'ai pas écrit l'application numérique)

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : GVAE équations d'une droite 15-06-06 à 13:02


Soit 3$\mathscr{P} le plan d'équation 3$ax+by+cz+d=0 avec (a,b,c)\not =(0,0,0).
Soit 3$\vec{n}=\left({\begin{array}{c}a\\b\\c\end{array}}\right) un vecteur normal au plan.
Soit 3$A\;\left|{\begin{array}{c}x_A\\y_A\\z_A\end{array}}\right. un point de l'espace.
Soit 3$H\;\left|{\begin{array}{c}x_H\\y_H\\z_H\end{array}}\right. son projeté orthogonal sur le plan.

3$\vec{AH} est colinéaire à 3$\vec{n} donc il existe 3$\lambda\in\mathbb{R} tel que 3$\vec{AH}=\lambda\vec{n}=\lambda\left({a\\b\\c}\right)
donc :
3$\{{x_H=x_A+\lambda a\\y_H=y_A+\lambda b\\z_H=z_A+\lambda c}
Or 3$H est sur le plan, donc :
3$ax_H+by_H+cz_H+d=0
3$ax_A+by_A+cz_A+d=-\lambda(a^2+b^2+c^2)
3$\lambda=-\frac{ax_A+by_A+cz_A+d}{a^2+b^2+c^2}

Enfin,
3$||\vec{AH}||=\frac{|\vec{n}.\vec{AH}|}{||\vec{n}||}=\frac{|\vec{n}.\lambda\vec{n}|}{||\vec{n}||}=|\lambda |\cdot||\vec{n}||=\frac{\left|ax_A+by_A+cz_A+d\right|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}

Sauf erreur.

Posté par
alpha20020re : GVAE équations d'une droite 15-06-06 à 13:20

Bon, j'ai pas réussi à apaiser ma curiosité(lâcher mon ordi plutôt...), donc quand j'essaie de chercher à comprendre ta démo Nicolas, je ne comprends pas le passage avec le -lambda(a^2+b^2+c^2) Ce (a^2+b^2+c^2) correspond à quoi? Une norme au carré? Et je comprends pas d'où tu sors le n\cdotAH/norme du vecteur normal.

Mais je voudrais pas vous embêter en vous bouffant votre temps précieux, suis un peu dur de la caboche par moment, et si jamais je comprends pas votre démonstration, c'est pas si grave, celle que j'ai apprise, joue tout à fait(selon moi...). Donc cassez vous pas la nénette pour un cas désespéré comme moi. Vous m'avez déjà bien aidé en me confirmant les deux points sur lesquels je doutais fortement.(utilité d el'équation cartésienne, et valeur de phi)

Bonne après midi...

Posté par
Tigweg Correcteurre : GVAE équations d'une droite 15-06-06 à 13:26

Je t'ai répondu sur ton mail, alpha20020.
Il y a deux fautes et plein de trucs inutiles dans la demo de ton prof!

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : GVAE équations d'une droite 15-06-06 à 18:05

alpha20020, dans la ligne d'avant, j'ai juste remplacé xH par xA+lambda.a, yH par...
puis j'ai passé tous les termes en lambda à droite de l'égalité. C'est tout.

Posté par
alpha20020re : GVAE équations d'une droite 15-06-06 à 18:43

Pardon, scuse, je suis vraiment cruchon... Pour l'étape la c'est bon, une fois que je réfléchis un peu... :grrr:

Mais pour la conclusion...
||\vec{AH}||=\frac{|\vec{n}.\vec{AH}|}{||\vec{n}||}= \frac{|\vec{n}.\lambda\vec{n}|}{||\vec{n}||} =|\lambda%20|\cdot||\vec{n}||= \frac{\left|ax_A+by_A+cz_A+d\right|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}

Le \frac{|\vec{n}.\lambda\vec{n}|}{||\vec{n}||}= \frac{|\vec{n}.\vec{n}\cdot\lambda|}{||\vec{n}||} =\frac{|\lambda\cdot||\vec{n}||^2|}{||\vec{n}||}==|\lambda%20|\cdot||\vec{n}||=-\frac{ax_A+by_A+cz_A+d}{a^2+b^2+c^2}\cdot \sqrt{a^2+b^2+c^2} = -\frac{ax_A+by_A+cz_A+d}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}\cdot\sqrt{a^2+b^2+c^2}}\cdot \sqrt{a^2+b^2+c^2} =-\frac{ax_A+by_A+cz_A+d}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}

Qui est égal à \frac{\left|ax_A+by_A+cz_A+d\right|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}

Car, une distance en géométrique() se doit te ne pas être négative... Donc, je mets les valeurs absolues pour faire gicler ce moins?

Est-ce que si on se met en mode "mathématiques de bac à sable" ce raisonnement est correct?

Encore merci pour toutes ces réponses

$\lambda=-\frac{ax_A+by_A+cz_A+d}{a^2+b^2+c^2}

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : GVAE équations d'une droite 15-06-06 à 18:48

Je ne mets pas la valeur absolue "pour éviter le moins".
Elle apparait naturellement dans le calcul :
3$\mathrm{distance}=||\vec{AH}||
Or, comme \vec{AH} et \vec{n} sont colinéaires :
\vec{n}.\vec{AH}=\pm||\vec{AH}||\cdot||\vec{n}||
|\vec{n}.\vec{AH}|=||\vec{AH}||\cdot||\vec{n}||
||\vec{AH}||=\frac{|\vec{n}.\vec{AH}|}{||\vec{n}||}
Donc :
3$\mathrm{distance}=||\vec{AH}||=\frac{|\vec{n}.\vec{AH}|}{||\vec{n}||}=\frac{|\vec{n}.\lambda\vec{n}|}{||\vec{n}||}=|\lambda%20|\cdot||\vec{n}||=\frac{\left|ax_A+by_A+cz_A+d\right|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}

Posté par
alpha20020re : GVAE équations d'une droite 17-06-06 à 19:01

Voilà, je ne suis pas tombé sur ça à l'oral, mais ca à roulé comme sur des gros pneus...

Mais juste, je comprends vraiment pas comment on peut dire que les valeurs absolues apparaissent naturellement dans le calcul? Est-ce que l'on doit dire que vu qu'on est en Jéromeiltrique, une distance ne peut PAS être négative?

Sinon, pour cette oral, j'avais tout tapé à l'ordi les questions, donc che po, si ca peut vous intéresser, je les mets volontiers à disposition de ce site. Redites moi, seulement.

Salutations.

Posté par
Tigweg Correcteurre : GVAE équations d'une droite 17-06-06 à 19:19

salut,

et félicitations!
Décidément tu es coriace!!!!

Je te renvoie à mon post précédent, que je t'ai recopié après cette phrase;
comme on s'intéresse à la distance HP, et qu'une distance c'est la norme d'un vecteur, et qu'une norme fait apparaitre des valeurs absolues, les valeurs absolues apparaissent naturellement...Voici le post en question:

"

En fait en projetant AP sur la direction orthogonale au plan on obtient :
AP.n = HP.n (je n'ai pas de fleches)
Comme HP et n sont colineaires, ceci est egal à + ou - le produit des normes de HP et de n.
C'est pourquoi les valeurs absolues te debarrassent de ce signe.
Alors:
|AP.n| = |HP.n| (en mettant des fleches) =( norme de n). HP (sans fleches)

Or HP est la distance cherchée, elle vaut donc |AP.n|/ (norme de n)
Tu as les coordonnees de P , et si tu as l'equatioon de P, tu choisis A au pif et tu determines les coordonnees d'un vecteur normal n, puis tu calcules AP.n et enfin tu appliques cette formule.Voilà, bonnes revisions!"

Posté par
alpha20020re : GVAE équations d'une droite 17-06-06 à 19:56

Coriace? Hum, lourd, plutôt?

Si j'ai HP.n(je n'ai pas de flèches). Et que HP et n sont colinéaires, le fait que cela soit égal à + ou - ||HP||.||n||, est-il une propriété que je devrais savoir?

si j'ai
\vec{a}\cdot\vec{b}=a_1b_2+a_1b_2+b_1b_2 \\ \text {Puis-je dire que c'est égal à } ||\vec{a}||\cdot||\vec{b}||=\sqr {a^2_1+a^2_1+a_1^2} \cdot\sqr {b^2_1+b^2_1+b_1^2} \\ \text { Là, puis-je élever le tout par deux, ce qui me donnerait...} (a^2_1+a^2_1+a_1^2)\cdot (b^2_1+b^2_1+b_1^2)=a_1b_2+a_1b_2+b_1b_2

Zut, le latex, est vraiment pas évident. Mais à peu de choses près, est-ce correct? Il ne manque juste le + - qui proviendrait des racines? Ce raisonnement tiendra pas du tout la route, mais y-a-t-il tout de même une certaine part de vérité?

Posté par
Tigweg Correcteurre : GVAE équations d'une droite 17-06-06 à 20:41

en fait la définition de ., c'est ||||.||||cos(,)

En particulier s'ils sont colinéaires, leur angle vaut 0° ou 180°,
donc le cos de leur angle est 1 ou -1, ce qui implique bien que leur produit scalaire vaut plus ou moins ||||.|||...

Convaincu? (ça marche moins bien avec les coordonnées)
Tigweg

Posté par
alpha20020re : GVAE équations d'une droite 17-06-06 à 22:00

Ouais après 36000 messages, cette fois c'est goal...

Merci pour votre excellence et bonne soirée.

ps. Par avec les coordonnées, c'est comme j'ai fait en haut?

Posté par
Tigweg Correcteurre : GVAE équations d'une droite 17-06-06 à 22:03

Oui oui
Bonne soirée et ne regarde pas trop le foot
Tigweg


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