Bonjour

Dans un plan il y a une infinité de droite et qui vont dans une infinité de direction ... donc difficile de trouver une droite qui a une plus grande pente qu'une autre


Jord

Quelle est la définition de la pente dans R3 ?

oups je me suis mal exprimée ...
mon plan à une diection de plongement .. cette direction peut être donnée par une droite (ou tout un tas mais parallèles à celle-ci) .. je cherche donc une équation générale de cette droite (à 1 facteur près)

Je suppose que la direction de la direction de la droite de plus grande pente est celle que prendrait une goutte d'eau placée sur ce plan.

Dans le repère qui a servi à définir l'équation du plan, le plan xoy est horizontal et les plans xoz et yoz verticaux.

Ceci juste pour situer le problème tel que je l'ai compris.


  

zut , il y a quelques mots de trop dans mon intervention précédente.

Bonjour;
sofeeshop,les lignes de plus grande pente d'un plan se determinent par rapport à un deuxième qui lui est sécant .Ce sont les droites incluses dans le premier et perpendiculaires à sa droite d'intersection avec le second.Par exemple lorsque le deuxième plan est horizontal,une ligne de plus grande pente serait le chemin que suivrait une goutte d'eau qui glisse sans frottement sur la surface du premier plan sous la seule action de la pesanteur.
Dans ton énoncé il faut donc préciser le second plan.

c'est ça J-P .. c'est la ligne que suivrai une goutte d'eau déposée sur ce plan ... .. le second plan est donc  .. horizontal (parallèle à xOy)

La vision que donne elhor_abdelali est celle la plus habituelle et alors il manque effectivement une donnée.

La vision que j'en ai donnée en est une autre possible, en faisant les suppositions émises sur le repère.

Il faudrait que sofeeshop précise ce qu'il(elle) veut.

oups .. pas parallèle à xOy ..dsl !!

Et bien voila, le temps de rédiger et la réponse était dèjà là.

c'est bien xOy qui est horizontal et yOz et xOz qui sont verticaux !!

je n'ai pas plus de données

Supposons que le plan de référence soit
(ie (xoy))
: est sécant à ssi et dans ce cas la droite de sécance est définie par le systéme::
un vecteur directeur de serait donc: ^ la direction des lignes de plus grande pente est un vecteur contenu dans la direction de et normal à donc vérifie le système:
en choisissant on trouve:

Sauf erreur bien entendu

La pente étant l'angle aigu entre une droite de direction et le plan de référence on a par un calcul facile:

Soit le plan P : Ax + By + Cz + D = 0

Il coupe les axes aux point de coordonnées inscrits sur le dessin.

Soit Q un point de P dans le plan xoy, Q( X ; (-D-AX)/B ; 0)

Un vecteur directeur de la droite rencontre de P et xoy est : vect(v) : (X ; (-D-AX)/B + D/B ; 0)

Un vecteur directeur de la droite (RQ) est : vect(u) : (X ; (-D-AX)/B ; D/C)

(RQ) sera un droite de plus grande pente de P si vect(u) . vect(v) = 0.

vect(u) . vect(v) = 0
X² + ((-D-AX)/B + (D/B)).(-D-AX)/B = 0
X²(A²+B²) + ADX = 0
X(A²+B²) + AD = 0
X = -AD/(A²+B²)
Y = (-D+(A²D)/(A²+B²))/B
Y = -BD/(A²+B²)

On obtient donc: vect(u) : (-AD/(A²+B²) ; -BD/(A²+B²) ; D/C)
C'est un vecteur directeur des lignes de plus grande pente de P.

Si on divise les 3 composante par -D/C, on obtient une autre vecteur directeur des lignes de plus grande pente de P.

Soit (AC/(A²+B²) ; BC/(A²+B²) ; -1) et on rejoint alors la réponse de elhor_abdelali

Il reste peut-être à se méfier des cas particuliers, tel que P // à un axe du repère ...

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Sauf distraction