Niveau terminale

help limit exp(x)

Posté par aAaAa (invité) 03-11-04 à 12:35

pourquoi
lim 2x+1-xe^x-1 = -
x+

mais 2x+1 = + en +

Posté par Nesfère (invité)re : help limit exp(x) 03-11-04 à 13:12

Je saurais pas t'expliquer pourquoi, mais c'est toujours l'exponentionnelle qui l'emporte

Posté par re : help limit exp(x) 03-11-04 à 13:31

Bonjour

Il suffit d'utiliser la propriété :

$\lim_{x\to -\infty} xe^{x}=0$

On peut la démontrer si vous voulez :

considerons la fonction $f(x)=e^{x}-x$

$f'(x)=e^{x}-1$

f' s'annule en 0 , est strictement négative sur $\mathbb{R}_{-}^{*}$ et strictement positive sur $\mathbb{R}_{+}^{*}$

Par conséquent , f posséde un minimum en x=0 d'ou $\forall x\in\mathbb{R}$ , $f(x)\ge f(0)=1>0$ , c'est a dire :
$e^{x}>x$

En appliquant cette inégalité à $\frac{x}{2}$ on obtient :
$\forall x\in\mathbb{R}_{+}$ :
$e^{\frac{x}{2}}>\frac{x}{2}$

d'ou en mettant au carré :
$e^{x}>\frac{x^{2}}{4}$ donc $\frac{e^{x}}{x}>\frac{x}{4}$

or , $\lim_{x\to +\infty} \frac{x}{4}=+\infty$ donc par comparaison :
$\lim_{\to +\infty} \frac{e^{x}}{x}=+\infty$

En particulier :
$\lim_{x\to -\infty} xe^{x}=\lim_{x\to +\infty} -xe^{-x}=\lim_{x\to +\infty} \frac{-x}{e^{x}} = \lim_{x\to +\infty} \frac{-1}{\frac{e^{x}}{x}}$

Or , d'aprés la démonstration précédent :
$\lim_{x\to +\infty} \frac{e^{x}}{x}=+\infty$

donc $\lim_{x\to +\infty} \frac{-1}{\frac{e^{x}}{x}}=0$

soit encore :
$\lim_{x\to -\infty} xe^{x}=0$

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