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Hexagone inscrit et circonscrit

Posté par
Matthieu40160
26-10-19 à 14:46

Bonjour j'ai un devoir maison à faire pour la rentrée et je suis bloqué voici l'énoncé :
Sur la figure ci-contre, on a tracé un hexagone régulier circonscrit au cercle trigonométrique et un hexagone régulier inscrit. On note C6 le côté de l'hexagone circonscrit et I6 le côté de l'hexagone inscrit.
1. Justifier que le triangle OAB est équilatéral.
2. a. En déduire que I6=1.
     b. Montrer que C6 = 2/racine 3
3. En encadrant le périmètre du cercle par celui des deux hexagones, donner un encadrement du nombre pi.

Hexagone inscrit et circonscrit

Posté par
Matthieu40160
re : Hexagone inscrit et circonscrit 26-10-19 à 14:49

Matthieu40160 J'ai réussi a montrer que OAB est équilatérale car B=pi/3 donc 60°
Donc l'angle AOB = 60°

Posté par
Glapion Moderateur
re : Hexagone inscrit et circonscrit 26-10-19 à 14:50

Bonjour, sois créatif, comment montre t-on qu'un triangle est équilatéral ?

Posté par
Matthieu40160
re : Hexagone inscrit et circonscrit 26-10-19 à 14:52

J'ai également réussi a démontrer que I6=1 car AB²=cos B²+sin B² = 1/2²+ racine 3/2² =1 Donc AB=racine 1=1
AB=I6=1.

Posté par
Matthieu40160
re : Hexagone inscrit et circonscrit 26-10-19 à 14:53

Il faut 2 angle égale à 60° ?

Posté par
Glapion Moderateur
re : Hexagone inscrit et circonscrit 26-10-19 à 14:55

Pourquoi écris-tu que AB²=cos B²+sin B² ? c'est quoi d'ailleurs ce que tu appelles l'angle B ?

Posté par
Matthieu40160
re : Hexagone inscrit et circonscrit 26-10-19 à 14:57

Car en faisant pythagore on peut retrouver AB or les seul valeurs que j'ai c'est le cos et le sin

Posté par
Glapion Moderateur
re : Hexagone inscrit et circonscrit 26-10-19 à 15:00

Pythagore dans quel triangle rectangle ? je ne vois pas de triangle rectangle.

Posté par
Matthieu40160
re : Hexagone inscrit et circonscrit 26-10-19 à 15:01

Entre AB et le point de la moitié du segment OA

Posté par
Glapion Moderateur
re : Hexagone inscrit et circonscrit 26-10-19 à 15:09

donc si je résume,
ce que tu appelles l'angle B c'est l'angle AOB donc 60°
tu abaisses la perpendiculaire de B sur OA, H le pied.
tu dis que OA = 1/2 et OB = sin 60° = 3/2 et tu fais Pythagore pour montrer que AB = 1.
Oui OK ça se tient.

tu mets un peu la charrue avant les bœufs parce que l'on te demande d'abord de montrer que OAB est équilatéral et après seulement d'en déduire que AB = 1

Je pense que ton exercice attendait une explication géométrique au début.
OAB est isocèle puisque OA=OB et l'angle au sommet vaut 60° donc les deux autres qui sont égaux valent aussi 60° (parce que la somme des 3 vaut 180° et que 2x = 180-60 donne x = 60°), le triangle est donc équilatéral et le troisième coté AB vaut donc 1 aussi.

Posté par
Matthieu40160
re : Hexagone inscrit et circonscrit 26-10-19 à 15:12

Okay merci beaucoup pour la précision mais c'est surtout pour la question 2.b que je comprend pas comment faire

Posté par
Matthieu40160
re : Hexagone inscrit et circonscrit 26-10-19 à 15:14

Pouvez vous me donner quelques pistes s'il vous plait

Posté par
Glapion Moderateur
re : Hexagone inscrit et circonscrit 26-10-19 à 15:21

Donc on te demande C6 le côté de l'hexagone circonscrit
si par exemple AC est un demi coté, tu peux exprimer tan 30° = AC/OA et en déduire AC

Posté par
Matthieu40160
re : Hexagone inscrit et circonscrit 26-10-19 à 15:23

Merci beaucoup mais je ne vois pas comment déterminer AC en fonction de OA=1 et tan 30° j'y avais pensé mais je n'ai pas réussis a calculer AC

Posté par
Glapion Moderateur
re : Hexagone inscrit et circonscrit 26-10-19 à 15:27

je ne vois pas ce qui te gène ? AC = tan 30° = 3/3 = 1/3
donc C6, le coté de l'hexagone circonscrit vaut 2/3

Posté par
Matthieu40160
re : Hexagone inscrit et circonscrit 26-10-19 à 15:29

tan 30° =AC/OA
tan 30° =AC/1
tan 30°= AC

Posté par
Matthieu40160
re : Hexagone inscrit et circonscrit 26-10-19 à 15:31

Okay merci beacoup j'avais juste ma calculatrice mal configuré et quand je faisait tan 30 je trouvé une valeur négative

Posté par
Glapion Moderateur
re : Hexagone inscrit et circonscrit 26-10-19 à 15:33

réviser les valeurs remarquables du cercle trigo : Cercle trigonométrique et valeurs remarquables

Posté par
Matthieu40160
re : Hexagone inscrit et circonscrit 26-10-19 à 15:35

Merci énormément pour l'aide je pense que la question 3 ne me poseras pas de problème

Posté par
Glapion Moderateur
re : Hexagone inscrit et circonscrit 26-10-19 à 15:44



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