bonsoir
permettez moi de vous répondre.

a) Démontrer que AHKD est un carré

KD perpendiculaire à AK et AH perpendiculaire à AK donc KD est parallèle
à AH.

on montre de la même manière que DH est parallèle à AK

donc AHDK est un parallélogramme.

comme l'angle (AK,AH) est droit donc AHDK est un rectangle.

comme la diagonale AD est la bissectrice de l'angle (AK,AH)

donc AHDK est un carré.


b) On pose DH= x. Démontrer que x/6 = 12-x/12

DH parra llèle à AC donc les deux triangles BHD et BAC sont homothétiques.

donc DH/AC=BH/BA

DH=x
AC=6
BH=BA-AH=12-x
BA=12

donc x/6=(12-x)/12

c) Déduire alors DH puis AD. ?

x/6=(12-x)/12
ssi 12x=72-6x
ssi 18x=72
ssi x=4

AD²=x²+x²=2x²

donc AD=xrc(2)   ; rc() désigne la racine carré.

AD=4rc(2)

voila bon courage.

la valeur de x qui vaut 4 puis j'applique le théorème de pythagore.

angle(DAH) = 90°/2 = 45°

La somme des angles d'un triangle = 180°
-> dans le triangle ADH:
angle(ADH) + angle(DAH) + angle(AHD) = 180°
angle(ADH) + 45° + 90° = 180°
angle(ADH) = 45°

On a donc angle(DAH) = angle(ADH) et le triangle ADH est isocèle.
-> AH = HD

Le quadilatère AHDK a 4 angles droits par hypothèse.
et comme 2 cotés adjacents sont égaux (AH = HD), le quadilatère AHDK
est un carré.
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Les triangles ABC et HDC sont semblables.
-> AB/HD = AC/HC
et comme HD = AK = x (puisque  AHDK est un carré) et que HC = AC - AH
= 6 - x, on a:

12/x = 6/(6-x)
2/x = 1/(6-x)
2(6-x) = x
12 - 2x = x
3x = 12
x = 4
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DH = 4
AD² = AH² + HD²
AD² = 4² + 4²
AD² = 32
AD = 4.V2
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Sauf distraction.    

Bonsoir tout d'abord à vous deux amis matheux qui m'avaient aidé,
j'ai trouvé le même raisonnement que vous sauf que moi pour
la question b j'ai mis que comme d'après la démontration
on a AHKD qui est un carré et que DH est parallère à AC on a tout
simplemement d'après le théorème de thalès :

BH/BA = DH/AC

donc :

12-x/12 = x/6

volià mon doute alors dites moi juste votre confirmation.

Merci encore

bonjour

cela revient au même.

le théorème des triangles homothétique découlent du théorème de thalès.

le théorème des triangles semblables découlent de l'isométrie avec
un tiangle homothétique donc lui aussi découle du théorème de thalès.

je suis content de votre défense de votre raisonnement propre à vous.
Vous êtes dans la bonne voie. Je vous y encourage.

bonne chance.